Hladík 15.6.2010

Oddělení B

1. Nad prostorem polynomů $\mathcal{P}^2$ uvažujme kvadratickou formu
   $f(p)=p(1)p(-1)-2p(1)^2-p(-1)^2$.
   (a) Najděte matici form vzhledem ke kanonické bázi $x^2,x,1$. (3 body)
   (b) Rozhodněte zda $f(p)\leq0$ pro všechny polynomy $p\in\mathcal{P}^2$. (3 body)

2. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 bodů)

3. Buď
   $A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$.
   (a) Najděte positivně semidefinitní matici $P$ takovou, že $P^2=A$. (5 bodů)
   (b) Najděte matici $R$, která není positivně semidefinitní, ale přitom $R^2=A$. (1 bod)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) Je-li $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ a $\mathrm{rank}(A)<n-1$ pak $\mathrm{adj}(A)=0$. (2 body)
   (b) Matice $A$ má vlastní čísla $1,2,3,4,5$
   $A=\begin{pmatrix}1&3&1&0&2\\3&5&0&1&1\\1&0&3&1&1\\0&1&1&3&2\\2&1&1&2&2\end{pmatrix}$ (2 body)
   (c) Buďte $A,B$ positivně definitní matice řádu $n$. Pak $BAB^T$ je postitivně definitní matice. (2 body)
   (d) Pro každou matici $A$ platí $A^T=A^\dagger AA^T$. (2 body)

Doplňující otázka:
Permutace, znaménko permutace, věta o složení cyklu a transpozice.

tak, oddělení A bylo téměř stejné, proto uvádím jen změny oproti B:

1. f(p) = 2p(0)p(1) - p(0)^2 - 2p(1)^2

2. A = 2, -1, 1
   -1, 2, -1
   1, -1, 2

3. a) Je-li A řádu n, rank(A) < n, pak adj(A) = 0.
   b) trochu jinak zadaná matice, ale na diagonále stejné prvky.
   c) Buď A poz. semidef. řádu n a matice B mxn. Pak BAB^T je poz. semidef. matice.
   d) Pro každou matici A platí A^T = A^ AA^+

dneska fakt humus, co jsem viděla, tak většina byly 4, 5 (nevim jak po ústní...). tak ať máte lepší zadání:)