Hladik 9.6.2011

Ahoj, predavam zadani B dnesni pisemky se strucnym navodem na reseni:

1. Zformulujte a dokazte vetu o projekci do maticoveho podprostoru.
   Definujte matici spolecnici.
   *viz treba Hladikovy skripta *

2. Uvazujme kvadratickou formu $f(x)=x_1^2 - 2 x_1 x_2 + 4 x_1 x_3 + 3x_2^2 + 5x_3^2$
   a) Najdete matici formy vzhledem k bazi $(1,1,-1)^T , (-1,0,2)^T, (2,1,0)^T$
   b) Najdete verohodnym zpusobem vektor $x \in R^3$ takovy, ze $f(x)<0$

*ad a) Urcime matici formy vzhledem ke kanonicke bazi: $$A = \begin{pmatrix} 1&-1&2\\ -1&3&0\\ 2&0&5 \end{pmatrix}$$
Sestrojime S matici prechodu od zadane baze ke kanonicke: $$S = \begin{pmatrix} 1&-1&2\\ 1&0&1\\ -1&2&0 \end{pmatrix}$$
Podle vety z prednasky se matice formy vzhledem k zadane bazi rovna $S^T A S$.
ad b) Diagonalizujeme matici A. Pokud budou vsechna vlastni cisla nezaporna, je matice positivne semidefinitni a pak takovy vektor neexistuje. V opacnem pripade vybereme vektor odpovidajici zapornemu vlastnimu cislu.
*

3. Urcete Jordanovu normalni formu matice $$\begin{pmatrix} -2&-2&-4&5\\ 1&1&1&-2\\ 1&2&0&-2\\ 1&2&0&-2 \end{pmatrix}$$.

*Definice viz skripta. Prakticky to chce spocitat vlastni cisla a vlastni vektory, aby clovek vedel, kolik bude Jordanovych bunek. *

4. Rozhodnete a oduvodnete:
   a) Matice $\begin{pmatrix} 1&0&2&0&-1\\ 0&2&0&-2&0\\ 1&1&1&-2&1\\ 0&0&1&0&0\\-1&1&0&0&2 \end{pmatrix}^{-1}$ je ortogonalni.
   b) Pro kazdou symetrickou matici A existuje B tak, ze $B^3=A$
   c) Matice $(A+A^T)^2$ je positivne semidefinitni pro kazdou ctvercovou matici.
   d) Pro kazdou matici A plati $A^+=(A^T A)^+ A^T$

• ad a) NE. Plati $Q^T=Q^{-1}$. Aby byla Q ortogonalni, muselo by platit $Q Q^T=Q Q^{-1}=I$. Staci zacit s nasobenim a hned je videt, ze vysledek rozhodne nebude jednotkova matice.
  ad b) ANO. A lze diagonalizovat, vlastni cisla lze odmocnit, pronasobenim zpatky se dostane B.
  ad c) ANO. Druha mocnina matice ma nezaporna vlastni cisla, tedy je positivne semidefinitni.
  ad d) ANO. Pomoci SVD rozkladu matice A a definice pseudoinverze to z toho vypadne.

//Omlouvam se, ze neumim TEX O:-)

Varianta A

1. formulujte a dokažte větu o ortogonální projekci bodu do podprostoru (nad obecným skalárním součinem). Definujte kvadratickou formu.

2. Uvažujme kvadratickou formu f(x)= X1^2 + 4X1X2 + 7X2^2 + 4X2X3 + X3^2
   (a) Najděte matici formy vzhledem k bázi (-2,1,1)^T, (3,0,1)^T,(0,1,-2)^T
   (b) Najděte věrohodným způsobem vektor X z R^3 takový, že f(X)<0

3. Určete Jordanovu formu matice
   1 0 1 -1
   1 2 1 -2
   1 1 2 -2
   1 1 2 -2

4. klasika vadí/nevadí:
   (a)matice

•       6  1 -2  1 0  
  

•       8  2 -2  0 -2  
  

  1/7 * 2 -9 2 3 -2

•       4  0  1  0 -3  
  

•       1  0  5  0  7  
  

je ortogonální.

(b) Buď A symetrická řádu n a nechť V1...Vn jsou její lineárně nezávislé vlastní vektory. Pak tyto vektory jsou navzájem kolmé.
(c) Matice A^T(A+B^T)(A^T+B)A je positivně semidefinitní pro libovolné reálné matice A,B.
(d)Pro každou matici A platí A* = A^T(AA^T)* (kde * je pseudoinverze)