Hladík 6.6.2011

Pochlubte se prosím někdo s dnešním zadáním (a klidně i řešením) :)

Skupina B:

body orientacne uz, si uplne nepamatuju

1. Dukaz QR rozklad + def. normy 8 bodu

2. Dana baze prostoru V (2 3 složkove vektory) a vektor x.

   • Naleznete matici projekce do V a projekci x.

   • Naleznete totez do ortogonalniho doplnku V 3+3 body

3. Populace zivocichu, v 1. rok zivota umre 1/4 a narodi se 1/2 novych. 2. rok zivota umrou vsichni a narodi se dvojnasobek novych.

   • Bude populace rust, klesat, nebo stagnovat?

   • Jaky bude vysledny pomer generaci.3+3 body

4. Kviz:

   • Ctvercova matice A ma prvky 0,1,-1, jeji determinant bude take 0,1 nebo - 1. (NE)

   • Nejaka inkluze prostoru a jejich ortogonalnich doplnku

   • Silena matice B, jestli je regularni. Stacilo dokazat pres diagonalni dominantnost (Gerschgorinovy disky, zadny z nich neobsahuje 0).

   • A sym nxn, pokud pro kazdy vektor x, x^tAx=0 pak je A nulova. Po dvou bodech{: style="list-style-type:decimal"}

Skupina A

1. Zformulujte a dokazte vetu o Sylvestrove zakonu setrvactnosti. (8 b)

2. (a) Sestrojte matici projekce do $V = span \{(1,2,1)^T\}$, a najdete projekci vektoru $x = (1,1,0)^T$. (2 b)
   (b) Setrojte matici projekce do $V^\bot$, a najdete projekci
   vektoru x. (4 b).

3. Na ostrove Nova Guinea byl objeven novy druh zivocicha, nazvany
   Commenticius Hladikensis:), se zvlastnim zivotnim cyklem. V prvnim roce po
   narozeni jich prezije jen ctvrtina a v prumeru kazdy zplodi pul potomka. V
   druhem roce kazdy zplodi v prumeru 2 potomky a uhyne.
   (a) Bude populace zivocicha expandovat, ustali se, anebo vyhyne? (3 b)
   (b) Jaky je pomer jednotlivych vekovych populaci? (3 b)

4. Rozdnete a zduvodnete, ktera z nasledujich tvrzeni jsou pravdiva: (kazdy za 2 b)
   (a) Existuje matice $A \in \mathbb{R}^{3x3}$ takova, ze
   $A^2 = -I$
   (b) Pro prostory U, V, W plati, ze pokud $U \subseteq V^\bot$ a $V \subseteq W^\bot$, potom $W \subseteq U^\bot$
   (c) Matice A =
   6 pi 1 0 1
   e 8 1 1 -3
   -1 2 -9 3 2
   2 0 e/pi 5 -1
   1 2 1 -e 7
   je regularni.
   (d) Bud $A \in \mathbb{R}^{nxn}$. Je-li $x^TAx = 0$ pro kazde $x \in \mathbb{R}^n$ pak A = 0.

mathemage wrote:Skupina A

1. Zformulujte a dokazte vetu o Sylvestrove zakonu setrvacnosti. (8 b)

viz Rocky I az Rocky V popr. Rocky Balboa :D

mathemage wrote: 2. (a) Sestrojte matici projekce do $V = span \{(1,2,1)^T\}$, a najdete projekci vektoru $x = (1,1,0)^T$. (2 b)

Primocare: $(1,2,1)^T$ nacpes do matice $A \in \mathbb{R}^{3x1} \Rightarrow V = \mathcal{S}(A)$. Z vety o projekci do $\mathcal{S}(A)$ z prednasky je matice projekce $P = A(A^TA)^{-1}A^T$. Projekce jest $x' = Px$.

mathemage wrote: (b) Setrojte matici projekce do $V^\bot$, a najdete projekci
vektoru x. (4 b).

$V^\bot = span\{(1,2,1)\}^\bot = \mathcal{S}(A)^\bot = \mathcal{R}(A^T)^\bot = \textrm{Ker}(A^T)$. Naleznes reseni soustavy rovnic $(A^T |0)$, ta narves do matice B, a dale postupujes stejne jako v (2a).

mathemage wrote: 3. Na ostrove Nova Guinea byl objeven novy druh zivocicha, nazvany
Commenticius Hladikensis:), se zvlastnim zivotnim cyklem. V prvnim roce po
narozeni jich prezije jen ctvrtina a v prumeru kazdy zplodi pul potomka. V
druhem roce kazdy zplodi v prumeru 2 potomky a uhyne.
(a) Bude populace zivocicha expandovat, ustali se, anebo vyhyne? (3 b)

! Pozor ! Hladikensis se dotycny rok vzdy nejdriv zpari (asi asexualne:) a teprve pak umre (tj. napr. v prumeru 1/2 potomka znamena kazdy zplodi 1/2 potomka a jen ctvrtina z nich tohle plozeni prezije:)

Vektor $(\textrm{narozeni, prezivsi})^T$, ten pronasobujes matici rekurence, tedy ${\frac{1}{2}\,2 \choose \frac{1}{4}\,0}$ (zkus si to, odpovida to presne zadani). Postupne nasobeni touto matici odpovida vynasobeni jeji prislisnou vhodnou mocninou, takze vysetrujes, zda-li lim mocniny matice konverguje k 0, konverguje k nejakemu jinemu cislu ci diverguje. Mocnina "konverguje stejne jako" diagonalni matice z jeji diagonalizace, ktera ma na diagonale vl. cisla obou podobnych matic, tj. -1/2 a 1. Evidentne prvni dokonverguje k 0, to druhe je konstane 1, takze populace se ustali.

mathemage wrote: (b) Jaky je pomer jednotlivych vekovych populaci? (3 b)

Priznam se, ze az sem jsem se nedostal, ale rekl bych, ze proste napises soucin tech 3 matic z diagonalizace, ale ta prostredni diagonalni bude mit zminene limitni hodnoty. Tento soucin bude matice rekurence, ke ktere to vse konverguje, z te uz se pomer obyvatelstva urci pronasobenim se sloupcovym vektorem pocatecniho stavu (tj. pocet na zacatku, po prvnim roce). Asi, nevim, nevite nekdo lepsi reseni?

mathemage wrote: 4. Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujich tvrzeni jsou pravdiva: (kazdy za 2 b)
(a) Existuje matice $A \in \mathbb{R}^{3x3}$ takova, ze $A^2 = -I$

Tady nevim, mozna neco s vetou o odmocnine z matice - viz skripta

mathemage wrote: (b) Pro prostory U, V, W plati, ze pokud $U \subseteq V^\bot$ a $V \subseteq W^\bot$, potom $W \subseteq U^\bot$

NE. Krkolomny protipriklad: Mej U, V a W podprostory nejakeho nenuloveho prostoru X. Vis, ze ${0} \bot X$. Pro U := X & V := {0} & W := X. Pak nam plati $X \subseteq X \& {0} \subseteq {0}$, ale pritom zjevne neplati $X \subseteq 0$

mathemage wrote: (c) Matice A =
6 pi 1 0 1
e 8 1 1 -3
-1 2 -9 3 2
2 0 e/pi 5 -1
1 2 1 -e 7
je regularni.

Typicka aplikace Gerschgorinovych disku, nesmi se ti v nich objevit 0 (aby nemohlo byt vl. cislem a tim i byt v soucinu vl. cisel, ktery se rovna determinantu, jenz je nenulovy jen a pouze pro regularni matice).

mathemage wrote: (d) Bud $A \in \mathbb{R}^{nxn}$. Je-li $x^TAx = 0$ pro kazde $x \in \mathbb{R}^n$ pak A = 0.

Nenech se osalit, nekoho by mohlo napadnout mluvit o PSD a rozkladu $A = U^TU$, ktery by povedl na ctverec normy vektoru Ux, jenz muze byt nulovy jen pro Ux=0 (neboli $\textrm{Ker}(U) = \mathbb{R}^n$, tedy $\mathcal{R}(U)=\textrm{Ker}(U)^\bot = {0}$, tudiz radky jsou jen nulove vektory, takze U by melo byt 0-va matice a tim i A). For je ovsem v tom, ze A nemusi byt symetricka! Napr. A := ${0\,\,-1 \choose 1\,\,\,\,\,\,\,0}$ dava stejne hodnoty $x^TAx$ jako jeji zesymetrisovana verse $x^T\frac{A+A^T}{2}x = x^T0x = 0$

Prislo mi to tentokrat mnohem tezsi nez to, co bylo minuly tyden (tam byly priklady IMO primocarejsi, ted bylo tak nejak trosku vic vymysleni). Myslim, ze za jednicku celkove muzu byt jeste rad:)

mathemage wrote:

mathemage wrote: 4. Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujich tvrzeni jsou pravdiva: (kazdy za 2 b)
(a) Existuje matice $A \in \mathbb{R}^{3x3}$ takova, ze $A^2 = -I$

Tady nevim, mozna neco s vetou o odmocnine z matice - viz skripta

Uz mi to doslo - je to tak jednoduchy, ze bych se za to snad nejradsi nakopnul :D
Odpoved je NE. Sporem: Mas takovou matici A. Spocitej si det obou stran rovnosti.
$\textrm{det}(-I_3) = (-1)^3 = -1$
Z multiplikativnosti determinatu mas tez
$\textrm{det}(A^2) = \textrm{det}(A)^2 \geq 0$,
neb $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ a $\mathbb{R}$ v determinatu jsou uzavrena na scitani a nasobeni, tudiz i $\textrm{det}(A) \in \mathbb{R}$.
Tim ovsem mas tolik hledany spor, pac $-1 \geq 0 \Rightarrow\Leftarrow$

mathemage wrote: (b) Jaky je pomer jednotlivych vekovych populaci? (3 b)

Priznam se, ze az sem jsem se nedostal, ale rekl bych, ze proste napises soucin tech 3 matic z diagonalizace, ale ta prostredni diagonalni bude mit zminene limitni hodnoty. Tento soucin bude matice rekurence, ke ktere to vse konverguje, z te uz se pomer obyvatelstva urci pronasobenim se sloupcovym vektorem pocatecniho stavu (tj. pocet na zacatku, po prvnim roce). Asi, nevim, nevite nekdo lepsi reseni?

Do druhého roku života se dostane 1/4 a v prvním roce se nachází 2 potomci starších + 1/2 mladších - tzn. celkem 2*1/4+1/2 = 1
Poměr 1:4, ale asi by to mělo jít vyřešit i přes matice :D