Skúška Fiala 11. 06. 2026 B

Rozstrel

  1. Pre matice A, B \in T^{n \times n} platí:

    • det(AB) = 0 \implies det \,A = 0 \lor det \,B = 0

    • det(AB^{T}) = det(BA^{T})

    • det(A+B) = det \,A + det \,B

    • det\,A\ne 0 \implies det\,B = det(A^{-1}BA)

  2. Pre p(x) nad T stupňa n \ge 1 platí:

    • x_1 = 0 => a_0 = 0

    • a_0 = 0 => 0 \in \{x_1, \dots, x_{n}\}

    • (x_i-x) delí p(x) \forall i \in \{1, \dots, n\}

    • x_1 + \cdots + x_n = a_n

  3. Pre reálne vlastné číslo matice A \in \R^{n \times n}, n \ge 2, s aritmetickou násobnosťou = n platí:

    • det \, A = \lambda^{n}

    • geometrická násobnosť \lambda = n

    • J_{A} = \lambda I

    • p_{A}(x) = (\lambda - x)^{n}

  4. Pre diagonalizovateľnú maticu A \in \Z^{3 \times 3}_{5} platí:

    • existuje regulárna matica \in \Z^{3 \times 3}_{5}: R^{-1}AR je diagonálna

    • má 3 rôzne vlastné čísl

    • každému vlastnému číslu zodpovedajú práve 3 vlastné vektory

    • možno z vlastných vektorov vybrať 3 lineárne nezávislé

  5. x' je ortogonálna projekcia x do podpriestoru U, x'' je ortogonálna projekcia x do U^{\perp}

    • x' \perp x''

    • x = x' + x''

    • x \perp x'

    • \braket{ x | x'} + \braket{x | x''} = 0

  6. A \in T^{n \times n} je pozitívne definitná; n \ge 2 a skladá sa z blokov a_{1,1}, a^{H}, a a Ã

    • Ã \land aa^{H} sú hermitovské

    • Ã-\frac{1}{a_{1,1}}aa^{H} je pozitívne definitná

    • \forall x \in \mathbb{C}^{n-1}: a_{1,1}x^{H}Ãx \ge x^{H}aa^{H}x

    • aa^{H} je regulárna

  7. B je matica bilineárnej formy voči báze B, C je jej matica voči báze C

    • matice B a C majú rovnakú hodnosť

    • BC = _{C}[id]_{B}

    • B _{B}[id]_{C}=_{C}[id]_{B}^{T}C

    • B=C^{-1}

Test

  1. Veta o skalárnom súčine 2 vektorov a Gramovej matici.

  2. Prehľadovo spíšte determinant.

  3. Pomocou Cauchy-Schwarzovej nerovnosti určite, či platí \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} \ge \frac{(x+y+z)^2}{29}. Nápoveda: zložky vektora môžu byť aj zlomky.

  4. Kvadratická forma na \R^3 má voči štandardnej báze analytické vyjadrenie g(u) = x^2+2y^2+az^2+2xy+2yz, pričom a \in \R je parameter. Určite maticu g(u) voči báze B=((1,1,0)^{T}, (0, 1, 1)^{T}, (1, 0, 1)^{T}).