Rozstřel

1. Pro čtvercovou matici A řádu n \in \mathbb{N}, n \ge 2 nad tělesem T platí:

   • \det(A^k) = (\det A)^k pro každé k \in \mathbb{N}

   • pokud \det(A^2) = 0, potom A je singulární

   • \forall t \in T: \det(tA) = t \det A

   • je-li A regulární, potom \det(A^{-1}) = -\det A

2. Pro matici A \in \mathbb{C}^{n \times n} platí:

   • A je unitární \Rightarrow |\det A| = 1

   • A = iI, kde i \in \mathbb{C} je imaginární jednotka \Rightarrow A je unitární

   • A = A^H \Rightarrow A je unitární

   • A je unitární \Rightarrow A je hermitovská

3. Má-li A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} různá vlastní čísla \lambda_1, \lambda_2 a v_1, v_2 jsou jim příslušné netriviální vlastní vektory, potom:

   • v_1 \perp v_2 vzhledem k standardnímu skalárnímu součinu

   • \{v_1, v_2\} je lineárně nezávislá množina

   • \lambda_1 v_1 = \lambda_2 v_2

   • v_1 + v_2 je vlastním vektorem A

4. Pro matici A \in \mathbb{R}^{10 \times 10} s jediným vlastním číslem \lambda geometrickou násobností 10 platí:

   • A je podobná jen sama sobě

   • Jordanova normální forma matice A má jen jeden blok

   • A - \lambda I má hodnost 0

   • A je diagonální

5. Zobrazení f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 je isometrie pokud:

   • \forall u, v \in \mathbb{R}^3: u \perp v \Rightarrow f(u) \perp f(v)

   • \forall u \in \mathbb{R}^3: ||2u|| = 2\sqrt{\langle f(u) | f(u) \rangle}

   • \forall u \in \mathbb{R}^3: 2||u|| = \langle f(2u) | f(2u) \rangle

   • \forall u \in \mathbb{R}^3: ||2u|| = 2||f(u)||

6. Pro Gramovu matici A sestavenou pro bázi B = (b_1, \dots, b_n) prostoru \mathbb{C}^n se skalárním součinem platí:

   • A je symetrická

   • A je pozitivně definitní

   • A je regulární

   • \forall u, v \in \mathbb{C}^n: \langle u | v \rangle = [v]_B^H A^T [u]_B

7. Pro každou bilineární formu f na vektorovém prostoru V nad \mathbb{R} a z ní odvozenou kvadratickou formu g platí:

   • g(u) + f(u,v) + f(v,u) + g(v) = g(u+v)

   • g(tu) = t f(u,u)

   • g(u-v) = f(u,u) - f(v,v)

   • g(u) = 0 \Rightarrow u = 0

Zkouška

1. Věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice

2. Podobné matice a diagonalizace

3. Pomocí Lagrangeovy interpolace proložte nad \mathbb{Z}_5 kvadratický polynom body (2,4), (3,1) a (4,2)

4. Na prostoru \mathbb{R}^3 uvažujme skalární součin \langle x|y \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 - x_2y_3 - x_3y_2 + 2x_3y_3. Vzhledem k tomuto nestandardnímu skalárnímu součinu určete nějakou bázi ortogonálního doplňku V^\perp podprostoru V = \operatorname{span}(\{(1,1,1)^T, (3,3,1)^T\}).