Hladík 27.6.2011

Skupina A:

1. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (nad tělesem reálných čísel). (4)
   Zformulujte a dokažte Trojúhelníkovou nerovnost. (3)

2. K řádkovému prostoru matice
   A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 2 \\ 3 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix}
   najděte ortonormální bázi jeho ortogonálního doplňku. (6)

3. Buď
   A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}
   matice kvadratické formy vzhledem k bázi B. Nechť $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3 jsou vlastní čísla A. Najděte bázi B takovou, aby matice formy vzhledem ke kanonické bázi byla \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$. (6)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) Je-li A \in \mathbb{R}^{n \times n} a rank(A)<n-1, pak adj(A)=0. (2)
   (b) Nechť matice A řádu 3 má jediné vlastní číslo 2, pak není diagonalizovatelná. (2)
   (c) Matice A je positivně definitní
   A=\begin{pmatrix} 12 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 7 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -9 & e \\ 3 & -1 & 1 & e & 8 \end{pmatrix}. (2)
   (d) Jsou-li b,c: V \times V \rightarrow \mathbb{R} dvě bilineární formy, pak b+c je také bilineární forma. (2)