Zkouška Fiala 16. 1. 2026

< Zpět na stránku předmětu Lineární algebra 1

SKUPINA A

Rozstřel (nižšie (asi) správne odpovede)

Za správnost rozstřelu neručím :) (a prosím doplnit...).

1. Rovná-li se hodnost (nerozšířené) matice jejímu počtu řádků, pak:

• se hodnost této matice rovná jejímu počtu sloupců

• matica neobsahuje žádne voľné premenné

• matice obsahuje pouze lineárně nezávislé řádky

2. Příkladem grupy je:

• množina sudých celých čísel s operací sčítáním

• racionální čísla s operací sčítání

• nenulové násobky sedmi s operací násobení

• ({3,1,2}, {3,2,1}) s operací skládání

3. Pre štvorcové matice $A, B, C$, rovnakého řádu platí:

• $A*B + C = C + B*A$

• $A - C = B$ práve vtedy, keď $A = B + C$

• $(A - B)^T = A^T + (-1) * B^T$

• $(A - B)^2 = (A + B)*(A - B)$

4. Nech $(V, +, *)$ je vektorový priestor nad $T$, potom nasledújuce axiómy platia

• $\forall v, u \isin V; \forall t \isin T: t(uv) = u(tv)$

• $\forall v \isin V; \forall t \isin T: tv = vt$

• $\forall v \isin V; \exist u \isin V: u + v = v + u = 0$, kde 0 je neutralny prvok pre +

• $\forall v \isin V; \forall s, t \isin T: (s + t) * v = sv + tv$

5. Teleso, ktoré obsahuje 16 prvkov:

• existuje práve jedno, je to Z_16

• neexistuje žiadne

• existuje práve jedno, ale nie je to Z_16

• idk

6. Pre každú petiprvkovú množinu priestoru $Z^4_5$

• množina je báza priestoru

• množina generuje priestor

• množina je lineárne závislá

• množina tvorí vektorový priestor

7. Nech $Ax = b$, kde $y$ je nejaké konkrétne riešenie danej sústavy, potom platí

• zobrazenie $f: R^n \to R^n, dané f(x) = x + y$ je bijektívne

• zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je izomorfizmus medzi $R^n$ a $R^n$

• zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je lineárne

• zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je bijektívne zobrazenie medzi $ker(A)$ a množinou riešení $Ax = b$

Rozstrel odpovede: áno = a, nie = n

1. n, n, a

2. a, a, n, n

3. n, a, a, n

4. n, n, a, a

5. n, n, a (je to Galoisovo teleso)

6. n, n, a, n

7. a, n, n, a, zobrazenie nie je lineárne, teda zobrazenie nie je ani izomorfizmus

Druhá část

1. Zformulujte problém o množinových systémech s omezeními na mohutnosti a vyřešte jej.

2. Přehledově sepište vše, co víte o (obecných) grupách.

3. Vektor $u = x^3 + 5x^2 + 5x + 2$ (cca). vektorového prostoru nad tělesem polynomů o stupni maximálně tři, určit souřadnice vektoru u v konkrétní bázi (také polynomů ofc), B = ($-x^3 + 2x + 1, 2x^3 - 2x - 1, -x^3 + 2x^2 + 3x + 1, -x^3 + x^2 + 2x + 1$).

4. Určete $dim(ker(A) \cap S(A))$ pre maticu $A$, ktora vyzerá takto

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

a tie čísla su nad $Z_5$.

SKUPINA B

Druhá časť

1. Vyslovte a dokažte větu o jednoznačnosti volných a bazických proměnných.

2. Přehledově sepište, co víte o maticích lineárních zobrazení.

3. Úloha typu upraviť 2 maticové rovnice so zadanými 3x3 maticami A,B,C. Niečo ako $(Y⋅A)^T−B=C$ a $(X+Y)^{−1}⋅A=B$. A treba zistiť maticu X.

4. Niečo s grafom.