# Zkouška Fiala 16. 1. 2026
*[< Zpět na stránku předmětu Lineární algebra 1](/NMAI057)*

### SKUPINA A
### Rozstřel (nižšie (asi) správne odpovede)
Za správnost rozstřelu neručím :) (a prosím doplnit...).  

1. Rovná-li se hodnost (nerozšířené) matice jejímu počtu řádků, pak:
- se hodnost této matice rovná jejímu počtu sloupců
- matica neobsahuje žádne voľné premenné
- matice obsahuje pouze lineárně nezávislé řádky
-

2. Příkladem grupy je:
- množina sudých celých čísel s operací sčítáním
- racionální čísla s operací sčítání
- nenulové násobky sedmi s operací násobení
- ({3,1,2}, {3,2,1}) s operací skládání

3. Pre štvorcové matice $A, B, C$, rovnakého řádu platí:
- $A*B + C = C + B*A$
- $A - C = B$ práve vtedy, keď $A = B + C$
- $(A - B)^T = A^T + (-1) * B^T$
- $(A - B)^2 = (A + B)*(A - B)$

4. Nech $(V, +, *)$ je vektorový priestor nad $T$, potom nasledújuce axiómy platia
- $\forall v, u \isin V; \forall t \isin T: t(uv) = u(tv)$
- $\forall v \isin V; \forall t \isin T: tv = vt$
- $\forall v \isin V; \exist u \isin V: u + v = v + u = 0$, kde 0 je neutralny prvok pre +
- $\forall v \isin V; \forall s, t \isin T: (s + t) * v = sv + tv$

5. Teleso, ktoré obsahuje 16 prvkov:
- existuje práve jedno, je to Z_16
- neexistuje žiadne
- existuje práve jedno, ale nie je to Z_16
- idk

6. Pre každú petiprvkovú množinu priestoru $Z^4_5$
- množina je báza priestoru
- množina generuje priestor
- množina je lineárne závislá
- množina tvorí vektorový priestor

7. Nech $Ax = b$, kde $y$ je nejaké konkrétne riešenie danej sústavy, potom platí
- zobrazenie $f: R^n \to R^n, dané f(x) = x + y$ je bijektívne
- zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je izomorfizmus medzi $R^n$ a $R^n$
- zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je lineárne
- zobrazenie $f: R^n \to R^n$, dané $f(x) = x + y$ je bijektívne zobrazenie medzi $ker(A)$ a množinou riešení $Ax = b$

Rozstrel odpovede: áno = a, nie = n
1. n, n, a  
2. a, a, n, n
3. n, a, a, n
4. n, n, a, a
5. n, n, a (je to Galoisovo teleso)
6. n, n, a, n
7. a, n, n, a, zobrazenie nie je lineárne, teda zobrazenie nie je ani izomorfizmus

### Druhá část
1. Zformulujte problém o množinových systémech s omezeními na mohutnosti a vyřešte jej.

2. Přehledově sepište vše, co víte o (obecných) grupách.

3. Vektor $u = x^3 + 5x^2 + 5x + 2$ (cca). vektorového prostoru nad tělesem polynomů o stupni maximálně tři, určit souřadnice vektoru u v konkrétní bázi (také polynomů ofc), B = ($-x^3 + 2x + 1, 2x^3 - 2x - 1, -x^3 + 2x^2 + 3x + 1, -x^3 + x^2 + 2x + 1$).

4. Určete $dim(ker(A) \cap S(A))$ pre maticu $A$, ktora vyzerá takto

$$
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 0 & 3 \\
  3 & 1 & 2 & 2 \\
  4 & 3 & 1 & 1 \\
  0 & 0 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}
$$

a tie čísla su nad $Z_5$.

### SKUPINA B
### Druhá časť
1. Vyslovte a dokažte větu o jednoznačnosti volných a bazických proměnných.

2. Přehledově sepište, co víte o maticích lineárních zobrazení.

3. Úloha typu upraviť 2 maticové rovnice so zadanými 3x3 maticami A,B,C. Niečo ako $(Y⋅A)^T−B=C$ a $(X+Y)^{−1}⋅A=B$. A treba zistiť maticu X. 

4. Niečo s grafom.