a) Definujte odstupňovaný tvar matice. (1)
b) Definujte sloupcový a řádkový prostor matice. (1)
c) Dokažte, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v odstupňovaném tvaru jsou stejné. (2)
d) Dokaže, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v obecném tvaru jsou stejné (2)

Nechť $V=\left(\begin{array}{c}{v}_1,v_2,\dots ,v_n\end{array}\right)$ je báze vektorového prostoru $Z$. Pro každé $i=1,\dots ,n$, nechť $w_i=v_1+v_2+\cdots +v_i$.
a) Dokažte nebo vyvraťte: $W=\left(\begin{array}{c}{w}_1,w_2,\dots ,w_n\end{array}\right)$ je také báze vektorového prostoru $Z$. Je-li $W$ báze, určete matici přechodu $A$ od báze $W$ k bázi $V$ a matici přechodu $B$ od báze $V$ k bázi $W$. (4)
b) Dokažte nebo vyvraťte: $X=\left(\begin{array}{c}{w}_1-w_n,w_2-w_1,w_3-w_2,\dots ,w_n-w_{n-1}\end{array}\right)$ je také báze vektorového prostoru $Z$. Určete matici přechodu $C$ od báze $V$ k bázi $X$ a matici přechodu $D$ od báze $X$ k bázi $V$. (4)

Uvažme matici (110113561224613)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}​132​154​066​111​123​​ s prvky tělesa ${\mathbb{Z}}_7$ a označme $h$ její hodnost.
a) Určete, kolik je $h$. (2)
b) Pokud to je možné, vyberte $h$ sloupců matice $A$ tak, aby tvořili bázi sloupcového prostoru matice $A$; vybrané sloupce označte $v_1,\dots ,v_h$ (3)
c) Pokud to je možné, mezi prvními čtyřmi sloupci matice $A$ jich vyberte $h-1$ tak, aby společně s posledním sloupcem tvořily bázi sloupcového prostoru matice $A$; vybrané sloupce označte $w_1,\dots ,w_{h-1}$ (3)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Je-li $(T,+,\ast )$ těleso a $u$ je neutrální prvek vzhledem k operaci $+$ a $v$ je neutrální prvek vzhledem k operaci $\ast$, pak se může stát, že $u=v$. (2)
b) Vektorové prostory ${\mathbb{R}}^3$ a ${\mathbb{Z}}_5^3$ jsou izomorfní (2)
c) Řešení soustavy $Ax=b$ tvoří vždy vektorový prostor, jehož dimenze je rovna hodnosti matice $A$. (2)
d) Jsou-li $u$ a $v$ dva nenulové lineárně závislé vektory z vektorového prostoru ${\mathbb{Z}}_2^5$, pak $u=v$. (2).