a) Definujte odstupňovaný tvar matice. (1)
b) Definujte sloupcový a řádkový prostor matice. (1)
c) Dokažte, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v odstupňovaném tvaru jsou stejné. (2)
d) Dokaže, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v obecném tvaru jsou stejné (2)

Nechť $V= \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n \end{pmatrix}$ je báze vektorového prostoru $Z$. Pro každé $i=1, \dots, n$, nechť $w_i=v_1 + v_2 + \dots + v_i$.
a) Dokažte nebo vyvraťte: $W= \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_n \end{pmatrix}$ je také báze vektorového prostoru $Z$. Je-li $W$ báze, určete matici přechodu $A$ od báze $W$ k bázi $V$ a matici přechodu $B$ od báze $V$ k bázi $W$. (4)
b) Dokažte nebo vyvraťte: $X= \begin{pmatrix} w_1 - w_n, w_2 - w_1, w_3 - w_2, \dots, w_n - w_{n-1} \end{pmatrix}$ je také báze vektorového prostoru $Z$. Určete matici přechodu $C$ od báze $V$ k bázi $X$ a matici přechodu $D$ od báze $X$ k bázi $V$. (4)

Uvažme matici $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ s prvky tělesa $\Z_7$ a označme $h$ její hodnost.
a) Určete, kolik je $h$. (2)
b) Pokud to je možné, vyberte $h$ sloupců matice $A$ tak, aby tvořili bázi sloupcového prostoru matice $A$; vybrané sloupce označte $v_1, \dots, v_h$ (3)
c) Pokud to je možné, mezi prvními čtyřmi sloupci matice $A$ jich vyberte $h - 1$ tak, aby společně s posledním sloupcem tvořily bázi sloupcového prostoru matice $A$; vybrané sloupce označte $w_1, \dots, w_{h-1}$ (3)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Je-li $(T, +, *)$ těleso a $u$ je neutrální prvek vzhledem k operaci $+$ a $v$ je neutrální prvek vzhledem k operaci $*$, pak se může stát, že $u=v$. (2)
b) Vektorové prostory $\Reals^3$ a $\Z_5^3$ jsou izomorfní (2)
c) Řešení soustavy $Ax=b$ tvoří vždy vektorový prostor, jehož dimenze je rovna hodnosti matice $A$. (2)
d) Jsou-li $u$ a $v$ dva nenulové lineárně závislé vektory z vektorového prostoru $\Z_2^5$, pak $u=v$. (2).