LA1 Hladík 15.1.2013 B

1. Definujte pojem těleso, zformulujte a dokažte větu "Jedna rovnost stačí" (7+1b)
2. Uvažujme dva podprostory $P^{2}$:

• $U = \{(a-b+4c) x^{2}, (a+3c) x, (a+2b+c); a,b,c \in \mathbb{R}\}$

• $V = \{ (t-s) x^{2}, (t-s) x, (t+s); t,s \in \mathbb{R} \}$

(a) Rozhodněte, zda $U,V$ jsou izomorfní. Pokud ano, najděte izomorfismus. (2b)
(b) Určete dimenzi a najděte bázi $U+V$ (3b)
(c) Určete $\dim(U \cap V)$ (1b)

3. Najděte vektor $v \in \mathbb{R}^{3}$ tak, aby $(1,2,3) \in Ker(f)$ pro lineární zobrazení definované: (6b)

• $f(1,1,2) = v$,

• $f(1,1,0) = (1,1,0)^{T}$,

• $f(2,1,1) = (3,1,2)^{T}$.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá (po 2b):
(a) Čtevrcová matice řádu $10$ tvořená z navzájem různých čísel je vždy regulární
(b) Buďte $U,V$ podprostory prostoru $W$ s bázemi $B_{U} = \{ u_{1}, ... , u_{m} \}, B_{V} = \{ v_{1}, ..., v_{n} \}$.
Pokud $U \cap V = {o}$, pak vektory $u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{n}$ jsou lineárně nezávislé.
(c) Buď $f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{5}$ lineární zobrazení. Pak $f$ není na.
(d) Buď $V$ konečně generovaný vektorový prostor a $f: V \to V$ lineární zobrazení.
Pak $f$ je na pokud obraz libovolné lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá množina.