Matfyz Wiki

14.1. 2014 - Hladík

Kamrusepa at 2014-01-24 22:03:22

  1. Definujte pojem znaménko permutace (1)
    Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice (7)

  2. Uvazujme dva podprostory prostoru R4R^4:

  • U=span{(1,2,1,2),(1,1,1,1)}U = span\{(1,2,1,2), (1,1,1,1)\}

  • V={(x1,x2,x3,x4)∈R4;x1+x2=x3+x4,x1+x3=x2}V = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4; x_1 + x_2 = x_3 + x_4, x_1 + x_3 = x_2 \}

  • Najdete vektor x∈U∖Vx \in U \setminus V. (2)

  • Najdete vektor y∈V∖Uy \in V \setminus U. (4)

  1. Buď
    B=(0011)C=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} Pro lineární zobrazení f:R2×2→R2×2f : R^{2 \times 2} \to R^{2 \times 2} definovane f(A)=BA+ACf(A) = BA + AC najdete:

  • bazi obrazu f(R2×2)f(R^{2 \times 2}),

  • baz jadra,

  • bazi prostoru matic A∈R2×2A \in R^{2 \times 2} splnujicich f(A)=f(f(A))f(A) = f(f(A)).

  1. Rozhodnete a zduvodnete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:

  • Bud A,B∈Rn×nA,B \in R^{n \times n}. Pak (A−B)(A+B)=A2−B2(A-B)(A+B) = A^2 - B^2. (2)

  • Bud A∈Rn×nA \in R^{n \times n} regularni matice. Pak AA lze elementarnimi radkovymi upravami prevest na A2A^2. (2)

  • Budte U,V,WU,V,W podprostory nejakeho vektoroveho prostoru. Pak (U+V)∩(U+W)⊆U+(V∩W)(U+V) \cap (U+W) \subseteq U + (V \cap W). (2)

  • Pro linearni zobrazeni f:U→Vf: U \to V a u,v,w∈Uu,v,w \in U plati f(span{u,v,w})=span{f(u),f(v),f(w)}f(span\{u,v,w\}) = span\{f(u),f(v),f(w)\}. (2)