Zkouška Fiala 19. 12. 2025

Maximální počet bodů: 48
Čas: 90 minut (30 na rozstřel, 60 na zbytek, na zbytku můžete pracovat i během rozstřelu)
Hodnocení:

1. 40-48b

2. 32-39b

3. 24-31b

4. 0-23b

Rozstřel je na 14 bodů, je z něj potřeba alespoň 10. Za 4 správné odpovědi v jedné úloze 2 body, za 3 správně a 1 nevím 1 bod. Z formulace věty v písemce samotné je potřeba alespoň 2 body ze 4.

Skupina A

Rozstřel

1. Homogenní soustava lineárních rovnic s pěti proměnnými o hodnosti 2 nad $Z_3$ má:

• 3 řešení

• 8 řešení

• dimenzi řešení 2

• 27 řešení

2. Dimenze jádra nehomogenní soustavy se rovná:

• hodnosti matice soustavy

• počtu pivotů matice soustavy v odstupňovaném tvaru

• hodnosti rozšířené matice soustavy

• ??

3. Podprostor prostoru $R^{3}$ je:

• $R^2$

• $Z^3$

• ${(x, y, z)^T, 2x+4y=0, x,y,z€R}$

• ??

4. Nad tělesem $R^{3}$ jsou lineárně závislé:

• tři vektory t.ž. body jimi určené tvoří trojúhelník s jedním vrcholem v počátku

• rovina popsaná $x+y+z=1$

• tři vektory t.ž. jimi určené body tvoří přímku, která neprochází počátkem

• ?? (nějaké další dva vektory, myslím)

5. Mezi axiomy grupy patří:

• pro každé $a \in G$ existuje $b \in G$: $a \circ b=b \circ a=e$, kde e je neutrální prvek

• existuje $b \in G$ pro každé $a \in G$: $a \circ b=b \circ a=e$, kde e je neutrální prvek

• existuje $e \in G$ pro každé $a \in G$ : $a \circ e=e \circ a=a$, kde e je neutrální prvek

• pro každé $a \in G$ existuje $e \in G$ : $a \circ e=e \circ a=a$, kde e je neutrální prvek

6. Pro dvě čtvercové matice stejné mohutnosti platí:

• pokud jsou A a B nenulové, je AB nenulové

• pokud jsou A a B nenulové, je A+B nenulové

• ??

• ??

7. ??

Druhá čast

1. Vyslovte a dokažte větu o vektorových prostorech souvisejících s maticí A.

2. Přehledově sepište vše, co víte o permutačních grupách.

3. Vyřešte soustavu n lineárních rocnic vzhledem k parametru p:

$px_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = 2$

$x_1 + px_2 + x_3 + … + x_n = 2$

$x_1 + x_2 + px_3 + … + x_n = 2$

$.$ $.$ $.$

$x_1 + x_2 + x_3 + … + px_n = 2$

4. Pro regulární matice A a B vyřešte nad $Z_5$ tuto maticovou rovnici $A(X + B)^{(-1)} = A^{T} - B$. Prvně obecně a pak pro konkrétní hodnoty A= ? a B= ? (byly to matice 2x2). Je matice X regulární?

Skupina B

Rozstřel

??

Druhá část

1. Vyslovte a dokažte Steinitzovu větu (včetně lemmatu).

2. Přehledově sepište vše, co víte o tělesech.

3. Najděte permutaci $p$ a její znaménko, pokud p splňuje rovnost: $p \circ q^{(25)} = q^{T}$.

4. Mějme lineární zobrazení v $R^{2}$ jako osovou souměrnost podle přímky procházející počátkem a bodem [1,-1], k tomu byla báze B a úkolem bylo najít matici lineárního zobrazení [f] z B do B.