Zkouška Fiala 12. 12. 2025

Maximální počet bodů: 48
Čas: 90 minut (30 na rozstřel, 60 na zbytek, na zbytku můžete pracovat i během rozstřelu)
Hodnocení:

1. 40-48b

2. 32-39b

3. 24-31b

4. 0-23b

Rozstřel je na 14 bodů, je z něj potřeba alespoň 10. Za 4 správné odpovědi v jedné úloze 2 body, za 3 správně a 1 nevím 1 bod. Z formulace věty v písemce samotné je potřeba alespoň 2 body ze 4.

Skupina A

Rozstrel

1. Keď $x, y, z$ sú riešenia rovnice $Ax=b$, tak potom:

• $x-y+z$ je riešením rovnice $Ax=b$

• $x-y$ je riešením rovnice $Ax=0$

• $x+y$ je riešením rovnice $Ax=b$

• $x-y-z$ je riešením rovnice $Ax=-b$

2. Regulárne matice rovnakého rádu sú uzavreté na:

• transpozíciu

• súčet

• súčin

• inverziu

3. Hodnosť každej štvorcovej matice $A$ je rovná:

• $\text{dim}\ S_A$

• $\text{dim}\ R_A$

• $\text{dim}(\text{ker}\ A)$

• $\text{dim}(\text{ker}\ A^T)$

4. Vektor súradníc vektoru $u_3-u_2$ vo vektorovom priestore $\mathbb{Z}_5^4$ s usporiadanou bázou $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ je:

• $(3,2,0,1)^T$

• $(0,1,1,0)^T$

• $(0,4,1,0)^T$

• $(1,3,2,2)^T$

5. Pre každú štvorcovú maticu $A$ nad telesom $\mathbb{Z}_2^5$ plati:

• $A+A+A+A+A=A$

• $-A=A$

• $A^2$ existuje

• inverzná matica k $A$ existuje

6. Množina permutácií $5$ prvkov s operáciou skladania tvorí:

• teleso

• Abelovskú grupu

• nekomutatívnu grupu

• vektorový priestor nad $\mathbb{Z}_5$

7. Pre lineárne zobrazenie $f$ s maticou zobrazenia $2I$ z $\mathbb{R}^2$ do $\mathbb{R}^2$ plati:

• $f$ je na

• $f$ je prosté

• ide o osovú súmernost okolo osi $x=y$

• idk

Druhá časť skúšky

1. Sformulujte vetu popisujúcu, kedy $\mathbb{Z}_p$ je teleso, a dokážte ju.

2. Prehľadovo spíšte všetko, čo viete o vektorových priestoroch určených maticou.

3. Uvažujme lineárne zobrazenie $f$ z množiny polynómov stupňa nanajvýš $3$ s koeficientmi zo $\mathbb{Z}_5$ do $\mathbb{Z}_5^2$. Boli dané obrazy štyroch polynómov, nájdite maticu lineárneho zobrazenia $[f]_{B,E_3}$, kde $B$ je baza $(x^3,x^2,x,1)$ a $E_3$ je kanonicka baza $\mathbb{Z}_5^2$. Rozhodnite, či je zobrazenie $f$ na (surjektívne).

4. Uvažujme graf na $10$ vrcholoch taký, že podgraf indukovaný vrcholmi $1$ až $5$ je kompletný graf $K_5$, podgraf indukovaný vrcholmi $6$ až $10$ je kompletný graf $K_5$, medzi vrcholmi $5$ a $6$ vedie hrana a žiadne ďalšie hrany než tieto tam už nie sú. Určte počet párnych (sudých) podgrafov tohto grafu takých, že obsahujú aspoň jednu z hrán $(1,2)$ a $(8,9)$.

Skupina B

Rozstřel

1. Mám soustavu $Ax=b$ elementární ekvivalentní řádkové úpravy na $A|b$:

• Nemění počet nenulových řádků v matici soustavy

• Nemění vektor pravých stran

• Nemění počet proměnných

• Nemění množinu řešení soustavy

2. Na regulárních maticích A, B stejného řádu platí

• $(A+B)^{-1} = (B)^{-1} + (A)^{-1}$

• $(AB)^{-1} = (B)^{-1} *(A)^{-1}$

• $(2A)^{-1} = 2 (A)^{-1}$

• $((A)^{-1})^T = ((A)^{T})^{-1}$

3. Mám množinu $A={a}$ a operaci $\square$ definovanou jako $a\square a=a$. A spolu s operací $\square$:

• Netvoří grupu, protože chybí inverzní prvek

• Tvoří grupu

• Tvoří Abelovskou grupu

• Netvoří grupu, protože □ není binární operace

4. V $\mathbb{Z}_5$ platí:

• $(-1)^{51} = 4$

• $4^{54} = 4$

• $2^{52} = 2$

• $3^{53} = 3$

5. Dimenze prostoru řešení soustavy $Ax=b$ je rovna

• $Dim$ řádkového prostoru $A$

• $Dim$ sloupcového prostoru $A$

• $Rank(A)$

• $Dim(ker(A))$

6. Souřadnice vektoru $(2,4,6)$ vůči uspořádané bázi $((0, 1, 0), (1, 0, 0) (0, 0, 2))$ jsou:

• $(1, 2, 3)$

• $(4, 2, 3)$

• $(4, 2, 12)$

• $(2, 4, 12)$

7. $g$ je lin zobrazení z $V\to U$, $f$ je lin zobrazeni z $U\to V$. $f\circ g= id$, $g\circ f= id$. Které následující výroky platí:

• $g\circ f\circ g = g$

• $g$ je isomorfismus

• $g$ je identita

• $g$ je prosté

Písemka

1. Vyslovte a dokažte větu o ekvivalentních definicích lineárního obalu.

2. Přehledově sepište, co víte o regulárních a singulárních maticích.

3. Najděte permutaci $x \in S_9$ splňující rovnost: $p^{50} \circ x^{(-1)} = q^{33}$ pro $p=(5, 9, 4, 8 ,3, 7, 2, 6, 1)$ $q=(3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4)$

4. Určete dimenzi jádra lin. zobrazení $f$ ze $\mathbb{Z}^{5}_5$ do $\mathbb{Z}^{4}_5$ určeného konkrétní maticí lin. zobrazení (tu si fakt nepamatuju). Poté pro vektor $u = (\text{konkrétní vektor v \space} \mathbb{Z}^{5}_4)$ určete souřadnici $f(u)$ vůči bázi $B$ (konkrétní 4 prvková báze vektorů v $\mathbb{Z}^{4}_5$