Zkouška 26.1.

4 příklady na 1,5 hodiny. známkování relativně mírné

1. a) Definujte těleso
   b) Určete zda množina reálných čísel s následujícímí operacemi je těleso
   sčítání: a (+) b = a + b + 1/2
   násobení : a (*) b = a + b + 2ab

2. Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3
   bonus: případně to samé pro obecný případ n x n

3. Definujte matici lineárního zobrazení
   Formulujte a dokažte větu o vztahu skládání lineárních zobrazení a násobení matic jejich zobrazení

4. tvrzení - rozhodnout ano x ne - i s vysvětlením
   a) Pokud je řádkový prostor matice A roven sloupcovému prostoru matice A, tak platí AT(transponovaná) = A
   b) pokud je vektorový prostor dimenze n a mám n vektorů z tohoto prostoru pak tvoří bázi
   c) a d) už si bohužel nepamatuji

stnicolaus wrote:2) Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3
bonus: případně to samé pro obecný případ n x n

Melo to vyjit neco jako?:

0 0 1
0 0 0
1 0 0

0 1 0
0 0 0
0 1 0

atp. Tj. vzdycky dve jednicky, ktere jsou umistene symetricky vzhledem k hlavni diagonale? Takze dimenze by byla 6? Pripada mi to nejaky divny.

dimenze pro 3*3 je 6
100 010 001 000 000 000
000 100 000 010 001 000
000 000 100 000 010 001
v obecnem pripade je to n! vzdy bazy tvori ty pozice co lezi nad diagonalou a ty co tvori diagonalu hm... vysvetluju to hrozne... zkuste to nekdo rozumne vyslovit...

mach wrote:

stnicolaus wrote:2) Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3
bonus: případně to samé pro obecný případ n x n

Melo to vyjit neco jako?:

0 0 1
0 0 0
1 0 0

0 1 0
0 0 0
0 1 0

atp. Tj. vzdycky dve jednicky, ktere jsou umistene symetricky vzhledem k hlavni diagonale? Takze dimenze by byla 6? Pripada mi to nejaky divny.

Pro 3x3 je dimenze 6 a báze vypadá následovně
1 0 0 - 0 0 0 - 0 0 0 - 0 1 0 - 0 0 1 - 0 0 0
0 0 0 - 0 1 0 - 0 0 0 - 1 0 0 - 0 0 0 - 0 0 1
0 0 0 - 0 0 0 - 0 0 1 - 0 0 0 - 1 0 0 - 0 1 0

Pro obecný případ nxn platí, že dimenze je n+(n^2)/2 (n je počet matic s jedničkou někde na diagonále a (n^2)/2 je počet matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu)

Doufám, že je to aspoň trochu srozumitelné :D

Anonymous wrote: Pro obecný případ nxn platí, že dimenze je n+(n^2)/2 (n je počet matic s jedničkou někde na diagonále a (n^2)/2 je počet matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu)

Doufám, že je to aspoň trochu srozumitelné :D

Ehm - vloudila se mi sem malá chybka - v obecném případě je dimenze n+(n^2 - n)/2. Báze je například - n matic s jednou jedničkou někde na diagonále a (n^2 - n)/2 matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu

Tak to je zajímavé. Psal jsem absolutně stejnou písemku - ale u Matouška :) Viz zadání 26.1.2006

Zdeněk Vilušínský wrote:Tak to je zajímavé. Psal jsem absolutně stejnou písemku - ale u Matouška :) Viz zadání 26.1.2006

nevidím důvod, proč by neměli písemky konzultovat... :D

A nevedel by nekdo jak resit 4a)

Ja se dostal jen k R(A) = S(A) <=> R(A) = R(AT), ale to, ze se rovnaji radkove prostory jeste nemusi znamenat, ze se ty matice rovnaji.

Anonymous wrote:A nevedel by nekdo jak resit 4a)

Ja se dostal jen k R(A) = S(A) <=> R(A) = R(AT), ale to, ze se rovnaji radkove prostory jeste nemusi znamenat, ze se ty matice rovnaji.

tvrzení neplatí. stačí uvážit např. následující matici:
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0

po transpozici:
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0

řadkový i sloupcový prostor generují stejné vektory -> prostory jsou tedy stejné, ale jasně vidíš, že A <> AT

eh santa ma pravdu samozrejme se to scita... a ne nasobi... jsem lama... :oops: :oops:

Diky za odpovedi :-)

pisemky davaji oba stejne... jen nejtezsi priklady navrhuje kolman...
no udajne pry v posledni pisemce vymyslel to s tim neprazdnym prunikem podprostoru se souctem dimenzi vetsim nez puvodni VP. ale legracni je ze matousek navrhl aby to z pisemky vyradil a kolman to udelal ale kvuli nejakemu informacnimu sumu to v matouskove pisemce zustalo :!: :twisted: :twisted: :twisted: