a) Definujte pojem báze vektorového prostoru (2)
b) Definujte pojem spojení $U + V$ vektorových podprostorů $U$ a $V$ vektorového prostoru $W$. (2)
c) Přesně zformulujte a dokažte větu o dimenzi spojení a průniku vektorových podprostorů. (6)

Uvažte matici $A$ typu $3 \times 3$, $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & \alpha & 2 \end{pmatrix}$, kde $\alpha \in \Reals$
a) Určete, pro které hodnoty $\alpha \in \Reals$ je matice $A$ regulární. (2)
b) Pro hodnotu $\alpha \in \Reals$ takovou, že matice $A$ není regulární, určete dimenzi $n$ vektorového prostoru $K= \{x \in \Reals^3: Ax=0\}$ a popište nějaký izomorfismus $f: K \rarr R^n$ (4)

a) Napište definici tělesa. (2)
b) Nechť $U = \Z_6 \times \Z_6$ a nechť operace $\oplus$ a $\otimes$ jsou definovány následujícím způsobem:
$(a, b) \oplus (c, d) = (a + c \mod 6, b + d \mod 6)$
$(a, b) \otimes (c, d) = (ad + bc \mod 6, cd \mod 6)$
Určete, zda $U$ s takto definovanými operacemi tvoří těleso. Pokud si myslíte, že ano, napřed určete, co jsou neutrální prvky $U$ vůči $\oplus$ a $\otimes$. (4)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Nechť $f: V \rarr W$ a $g: W \rarr Z$ jsou lineární zobrazení. Pak pokud je $g \circ f$ izomorfismus, je $f$ i $g$ nutně také izomorfismus. (2)
b) Je-li $f: U \rarr V$ lineární zobrazení a $\begin{pmatrix} b_1, b_2, \dots, b_n \end{pmatrix}$ je báze vektorového prostoru $U$, potom vektory $f(b_1), \dots, f(b_n)$ tvoří systém generátorů vektorového prostoru $f(U)$. (2)
c) Je-li $A$ čtvercová matice $n \times n$ hodnosti $n$, pak sloupcový prostor matice $A$ je roven řádkovému prostoru matice $A$. (2)
d) Je-li $V$ vektorový prostor a $U_1, U_2$ jeho podprostory, pak v některých případech může být průnik $U_1 \cap U_1$ podprostor $V$, ale obecně podprostorem být nemusí. (2)