Zkouška Klazar 15. 1. 2020

Myslím, že mi v části 2 vypadla ještě jedna podotázka, taky nějaká početní, resp. určit, zda něco konverguje.

1. Jaké jsou limitní body této množiny? $X \subset \mathbb{R}^2; x = \{ (x, y); x \in \{1, 2, 3, \ldots\}, 0 < y < x-1 \}$

2. a) Vysvětlete tři druhy konvergence posloupností a řad funkcí.
   b) Rozhodněte, zda $f_n(x) = \frac{1}{nx}$ konverguje rovnoměrně na $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$

3. a) Uveďte výsledky o mocninných řadách.
   b) Je tato řada na intervalu (0,1) rostoucí, klesající, nebo ani jedno? $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}x^n$

4. Dokažte, že souvislé podmnožiny reálných čísel jsou právě intervaly.

Odpovědi:
1 Limitní jsou body z $\bar{X}$, tj. uzávěru X
2b) ne (dokazuje se podobně jako příklad $f_n(x) = x^n$ z přednášky
3b) ověříme že poloměr konvergence je aspoň 1, pak můžeme upravit na součet geometrické řady, dostaneme že řada se rovná $\frac{x}{x+2}$