Písemka Rataj 8.6.2010

Dnes zadání bylo:

1. Najděte primitivní funkci:

$$\int\frac{\sin^2x}{2+\cos^2x}\,dx.$$

(10 bodů)

2. Spočítejte délku části spirály v rovině zadané v polárních souřadnicích $x=r\cos \phi,\,y=r\sin\phi$ rovnicí $r=a\phi,\,0\leq\phi\leq\pi$.
   $a\geq0$ je pevný parametr.)

(10 bodů)

3. Lze funkci

$$f(x,y)=\frac{x^3y^2}{x^4+y^{10}}$$

spojitě dodefinovat na celém $\mathbb{R}^2$

(10 bodů)

4. Najděte lokální extrémy funkce

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$$

(10 bodů)

Všechny výpočty a odpovědi řádně zdůvodněte.
Na vypracování máte 120 minut. Požadované minimum: 20 bodů.
Při práci můžete používat pouze jeden vlastní popsaný list formátu A4 se vzorečky. Není povoleno používat mobily ani žádnou výpočetní techniku.

Napsal by někdo prosím správný řešení tý trojky včetně zdůvoďnování kolem, na kterým se nejspíš dost lpí?

Od někoho kdo dostal 10 bodů mi bylo řečeno, že si stačí dostadit $x=y$ a poté $x=y^2$, jednou vyjde limita 0, podruhé 1, což by mělo stačit. To dáva smysl. Já zkoušel polární souřadnice, $y=kx$ a $y=kx^2$, kde mi vycházely trochu divný věci, který jsem myslel, že zřejmě stačej k tomu, aby limita neexistovala, ale očividně ne.