3. 6. 2014 - Rataj písemka

1. Spočtěte
   $$\int_0^{\pi / 2} e^{\sin x} \cos^3 x \; \mathrm{d} x$$

2. Spočtěte délku křivky parametrisované předpisem
   $$\left( 3 \cos^3 t, 3 \sin^3 t \right)$$
   pro $t \in [0, 2\pi]$

3. Spočtěte limitu (pokud existuje)
   $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (1+xy)^{\frac{x}{x^2+y^2}}$$

4. Na elipse $x^2 + xy + 2y^2 = 1$ nalezněte nejbližší a nejvzdálenější bod od přímky $x + y = 10$.

Pro ty, kdo by si to počítali - první příklad vyjde 1 (substituce+per partes), druhý z hlavy nevím, ale výsledkem je také nějaké číslo, alespoň v mém postupu nutno rozdělit na 4 integrály podle toho, kde je sin záporný a kde kladný. 3. příklad - limita vyjde 0, lze odhadnout pomocí lim log(1+x)/x pro x->0.

Návštěvník wrote:3. příklad - limita vyjde 0, lze odhadnout pomocí lim log(1+x)/x pro x->0.

Spíše bych řekl, že to vyjde 1 (na vyvrácení tvého výsledku stačí vzít přímku x=0 => 1^0=1). Odhadnout se to dá prozkoušením různých hodnot, dokázat poté převodem do polárních souřadnic.

kdyz uz pisi - 4 staci polozit implicitni derivace elipsy rovno smernici primky. Formalni argument = Smernice tecny v prislusnem bode musi byt rovnobezna s primkou, jinak by existovalo okoli bodu, na nemz se krivka (elipsa) blizi primce, a nemuze se tedy jednat o extrem co do vzdalenosti. Vysledek mi vysla pomerne nehezka odmocnina (neco ve smyslu 1/14^(1/2) a 3/14^(1/2)). Pozor - implicitni zderivovani cele elipsy vede na ztratu nekterych udaju (funkce z jedne souradnice na jinou neni prosta!) - nutno zduvodnit a provest zkousku rozborem pripadu.

3. příklad mi taky vychází, že je to 1. S policajtama, i bez polárních souřadnic. Proč ale wolfram tvrdí, že to nemá limitu? http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... By^2%29%29