Zkouška Pultr 10.5. 2019

Pocetni priklady

• Ukazte, ze rovnice $e^{xy} = cos(x+y)+y$ urcuje v jistem okoli bodu $(0,0)$ implicitne zadanou funkci promenne $x$. Spoctete prvni a druhou derivaci teto funkce v bode 0.

• Spoctete Tayloruv polynom stupne 6 se stredem v bode 0 funkce $f(x) = cos(x^2cosx) - cos(x^2)$. S jeho pomoci spoctete limitu $\lim_{x\to 0} \cfrac{cos(x^2cosx) - cos(x^2)}{x^6}$.
  Teoreticke priklady

• Dokazte z definice Riemannova integralu: je-li $f$ riemannovsky integrovatelna na $[0,1]$ a $g = f$ na $(0,1]$, potom $g$ je riemannovsky integrovatelna na $[0,1]$ a $\int_{0}^{1} f= \int_{0}^{1} g$.

• Necht $f,g:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ maji obe totalni diferencial v bode $a$ a necht $\Delta f(a) = \Delta g(a) = (0,0,0)$. Plati, ze i funkce $h = f \cdot g$ ma totalni diferencial $L$ v bode $a$ a plati $[latex]$$\Delta h(a) = (0,0,0)$?