zkouska 8.02.06

(1) Zjistete zda konverguje rada: Suma(2ⁿ*n!/nⁿ)

(2) lim[x->+inf] (3^x+8^x)^1/x

(3) prubeh fce: f(x) = (1+x²)*e^1-x

• nejdete Df, extremy, monotonii, kovexnost/konkavnost, asymptoty, limity v krajnich bodech, graf

(4) Necht je fce f spojita a konvexni na <a,b> a maderivaci v kazdem bode <a,b> (v krajnich bodech jednostranne derivace). Plati-li f(a) = f(b) a f'₊(a)=0, pak je fce f konstantni na <a,b>. Dokazte. (Muzete se odvolavat na vety a tvrzeni z prednasek.)

Nastin reseni (treba to nekdy nekomu pomuze :) ) :

(1) Normalne pres podilovy kriterium, pekne se to pokrati a vyjde a_n+1/a_n --> 2*( n/(n+1) )ⁿ , za chvilku clovek prijde na to ze se to = 2*e^-1. To je <1 takze rada konverguje
(2) Lehky priklad (ale spousta lidi to nedala :o ) - prevedu na e^{1/x * ln(3^x + 8^x)} a podle vety o lim sloz fce mi staci spocitat limitu toho exponentu. Na to pouziju oblibeneho l'Hospitala, vyjde: lim [x->+inf] ( 3^x * ln3 + 8^x * ln8)/(3^x + 8^x) = (vytknu prevladajici clen=8^x) = (0 +1^x * ln8)/(0 + 1^x) = ln8 ----> dosadim do puvodniho vyrazu a dostanu e^ln8 = 8
(3) pekna fce, zadna abs. hodnota, Df=R, Hf=(0,+inf), klesajici v Df, v -inf jde do +inf a nema asymptotu, v ++inf jde k nule, !!pozor, v bode 1 sice vyjde f'(1)=0 ale NENI tam extrem, ale inflexni bod - fce zadny extrem nema!! konkavni na (1,3), jinde konvexni
(4) Netvrdim ze je to optimalni reseni, ale funguje (za 10b ;) ):
*f je konvexni => f' je neklesajici na (a,b)
*podle Rolleovy vety ex. c z (a,b) tz. f'(c)=0 (vsechny predpoklady vety jdou splneny)
*protoze f' je neklesajici (a spojita) a f'₊(a)=0 tak musi platit ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,c)
*zbyva interval (c,b) - tam to udelam sporem: kdyby byl bod t, kde f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici by f' > 0 na celem int (t,b) -> to by ale znamenalo, ze na tomto intervalu je fce f rostouci a tudiz f(b) > f(a) coz je spor! => takze f'(x) = 0 pro vsechna x z (c,b)
*f' = 0 na (a,b) => f konstantni na (a,b) (tvrzeni z prednasky)
*a protoze f je spojita, tak bude <b>f konstantni na celem <a,b></b> (proste to v krajnich bodech nemuze ulitnout)

Z tech asi 26 lidi se nas k ustnimu dostalo asi 9 nebo 10. Dost velka umrtnost, ale stejne jsme se s kamarady shodli, ze bodovani je dost mirne, takze pokud clovek nema smulu mel by to dat! U ustniho je pan profesor opravdu hodny, nedava zaludnosti, ale rozhodne nepocitejte s tim, ze kdyz mate pisemku, tak uz zkousku mate v kapse, ze to s nim uz nejak skoulite. Zvlast pokud mate jen o malo vic nez 20b. tak se musite snazit. Ale jinak pan profesor pomaha - me treba napsal zaver dukazu, s kterym jsem nemohl hnout, ja mu to okdyval a nakonec jsem dostal tu lepsi znamku.
Na ustni jsem dostal def. lim. posloupnosti, lim. podposloupnpsti a vzajemny vztah mezi nima a Tayloruv polynom a aproximace fce Taylorovym polynomem (to je ta veta hned pod definici). Tayloruv polynom tam byl docela casto, tak se naucte aspon jeho definici!

Hodne stesti!!

zadani B:

1. urci jestli je konvergentni
   suma n=1 az inf 3^n *n^5/n^(n/2)
   (pohoda podilovy kriterium)

2. lim x->inf (5^x *6^x)^(1/x)
   (reseni jako vyse)

3. prubeh
   f(x)=(1-x^2)*e^(1-x)
   (celkem v pohode, akorat imho slozitejsi na limity)

4. f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>
   plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz
   (moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)

PeterBlack wrote: 4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>
plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz
(moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)

Ja bych to delal podobne jako v nasem zadani:
1.krok: je konvexni => f' je neklesajici
2.krok: potrebuju ukazt ze f'(x) = 0 pro vsechna x z intervalu (a,b)
sporem: kdyby existoval bod t z (a,b) takovy, ze f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici bude pro vsechna y>t f'(y)>=f'(t)>0. No ale potom lim [x->b] f'(x) nemuze byt 0, coz je spor! Podobne kdyz bych uvazil nejaky bod, kde by f'<0 tak by nemohlo vyjit, ze f'₊(a)=0. Takze posledni moznost je, ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b)
3.krok: f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b) => f je konstantni na (a,b) - no a protoze f je spojita, tak f je konstantni na <a,b>.

To by mohlo fungovat... ;))