# zkouska 8.02.06

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2006-02-08 23:42:40)}>
**(1)** Zjistete zda konverguje rada:  Suma(2<sup>n</sup>*n!/n<sup>n</sup>)  
  
**(2)** lim\[x->+inf] (3<sup>x</sup>+8<sup>x</sup>)<sup>1/x</sup>  
  
**(3)** prubeh fce: f(x) = (1+x<sup>2</sup>)*e<sup>1-x</sup>  
- nejdete Df, extremy, monotonii, kovexnost/konkavnost, asymptoty, limity v krajnich bodech, graf  
  
**(4)** Necht je fce f spojita a konvexni na <a,b> a maderivaci v kazdem bode <a,b> (v krajnich bodech jednostranne derivace). Plati-li f(a) = f(b) a f'<sub>+</sub>(a)=0, pak je fce f konstantni na <a,b>. Dokazte. (Muzete se odvolavat na vety a tvrzeni z prednasek.)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Myshaak", timestamp=2006-02-09 11:10:31)}>
Nastin reseni (treba to nekdy nekomu pomuze :) ) :  
  
**(1)** Normalne pres podilovy kriterium, pekne se to pokrati a vyjde a<sub>n+1</sub>/a<sub>n</sub> --> 2*( n/(n+1) )<sup>n</sup> , za chvilku clovek prijde na to ze se to = 2*e<sup>-1</sup>. To je <1 takze **rada konverguje**  
**(2)** Lehky priklad (ale spousta lidi to nedala :o ) - prevedu na e<sup>1/x * ln(3^x + 8^x)</sup> a podle vety o lim sloz fce mi staci spocitat limitu toho exponentu. Na to pouziju oblibeneho l'Hospitala, vyjde:  lim \[x->+inf] ( 3<sup>x</sup> * ln3 + 8<sup>x</sup> * ln8)/(3<sup>x</sup> + 8<sup>x</sup>) = (vytknu prevladajici clen=8<sup>x</sup>) = (0 +1<sup>x</sup> * ln8)/(0 + 1<sup>x</sup>) = ln8    ----> dosadim do puvodniho vyrazu a dostanu e<sup>ln8</sup> = **8**  
**(3)** pekna fce, zadna abs. hodnota, Df=R, Hf=(0,+inf), klesajici v Df, v -inf jde do +inf a nema asymptotu, v ++inf jde k nule, !!pozor, v bode 1 sice vyjde f'(1)=0 ale NENI tam extrem, ale inflexni bod - fce zadny extrem nema!! konkavni na (1,3), jinde konvexni  
**(4)** Netvrdim ze je to optimalni reseni, ale funguje (za 10b ;) ):  
*f je konvexni => f' je *neklesajici* na (a,b)  
*podle Rolleovy vety ex. c z (a,b) tz. f'(c)=0 (vsechny predpoklady vety jdou splneny)  
*protoze f' je neklesajici (a spojita) a f'<sub>+</sub>(a)=0 tak musi platit ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,c)  
*zbyva interval (c,b) - tam to udelam sporem: kdyby byl bod t, kde f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici by f' > 0 na celem int (t,b) -> to by ale znamenalo, ze na tomto intervalu je fce f rostouci a tudiz f(b) > f(a) coz je spor! => takze f'(x) = 0 pro vsechna x z (c,b)  
*f' = 0 na (a,b) => f konstantni na (a,b) (tvrzeni z prednasky)  
*a protoze f je spojita, tak bude <b>f konstantni na celem <a,b></b> (proste to v krajnich bodech nemuze ulitnout)  
  
Z tech asi 26 lidi se nas k ustnimu dostalo asi 9 nebo 10. Dost velka umrtnost, ale stejne jsme se s kamarady shodli, ze bodovani je dost mirne, takze pokud clovek nema smulu mel by to dat! U ustniho je pan profesor opravdu hodny, nedava zaludnosti, ale rozhodne nepocitejte s tim, ze kdyz mate pisemku, tak uz zkousku mate v kapse, ze to s nim uz nejak skoulite. Zvlast pokud mate jen o malo vic nez 20b. tak se musite snazit. Ale jinak pan profesor pomaha - me treba napsal zaver dukazu, s kterym jsem nemohl hnout, ja mu to okdyval a nakonec jsem dostal tu lepsi znamku.  
Na ustni jsem dostal def. lim. posloupnosti, lim. podposloupnpsti a vzajemny vztah mezi nima  a  Tayloruv polynom a aproximace fce Taylorovym polynomem (to je ta veta hned pod definici). Tayloruv polynom tam byl docela casto, tak se naucte aspon jeho definici!  
  
Hodne stesti!!
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="PeterBlack", timestamp=2006-02-10 11:03:04)}>
zadani B:  
1) urci jestli je konvergentni  
suma n=1 az inf 3^n *n^5/n^(n/2)  
(pohoda podilovy kriterium)  
  
2) lim x->inf (5^x *6^x)^(1/x)  
(reseni jako vyse)  
  
3) prubeh  
f(x)=(1-x^2)*e^(1-x)  
(celkem v pohode, akorat imho slozitejsi na limity)  
  
4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>  
plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz  
(moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Myshaak", timestamp=2006-02-13 19:52:16)}>

 > PeterBlack wrote:
 > 4) f spojita,konvexni, ma derivace v kazdem bode, definovana na int. <a,b>  
 > plati-li f'+(a)=f'-(b)=0 tak pak je fce konstantni na <a,b>, dokaz  
 > (moh by mi tu prosim nekdo rozvinout formalni dukaz? udelal jsem ho dost neformalne a vyfasoval 0 :'( a prej se to nemusi dokazovat z def. konvexnosti)

Ja bych to delal podobne jako v nasem zadani:  
1.krok: je konvexni => f' je neklesajici  
2.krok: potrebuju ukazt ze f'(x) = 0 pro vsechna x z intervalu (a,b)  
sporem: kdyby existoval bod t z (a,b) takovy, ze f'(t)>0, tak protoze f' je neklesajici bude pro vsechna y>t f'(y)>=f'(t)>0. No ale potom lim \[x->b] f'(x) nemuze byt 0, coz je spor! Podobne kdyz bych uvazil nejaky bod, kde by f'<0 tak by nemohlo vyjit, ze f'<sub>+</sub>(a)=0. Takze posledni moznost je, ze f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b)  
3.krok: f'(x)=0 pro vsechna x z (a,b) => f je konstantni na (a,b) - no a protoze f je spojita, tak f je konstantni na <a,b>.  
  
To by mohlo fungovat... ;))
<{/ForumPost}>