zkouska 18. 1.

Tak jsem byl (uspesne :-) ) na zkousce a treba by vas zajimalo, co bylo v pisemce - takze varianta B:

1. limita posloupnosti:

lim(n*n - 1)^(1/odmocnina(n)), n jde k +nekonecno

2. limita funkce:

lim(tgx + cosx)^(1/x), x jde k nule

3. vysetrete prubeh funkce:

f(x) = x * ln(1/abs(x))

4. dokazte nebo vyvratte, ze pokud jsou funkce f a g konkavni, pak je i funkce "g slozeno f" konkavni

Prvni limita se prevedla pres Heineho na funkci a pak se pouzil myslim l'Hospital. Pak jsem si provedl zkousku a za n dosadil 10^100 a potvrdilo se mi, ze to opravdu konverguje k jednicce.

Ve druhem se to jen prevedlo na spolecny zlomek (staci jen pouzit tgx = sinx/cosx) a pak se pouzil l'Hospital. Musim rict, ze jsem si to asi petkrat nevericne kontroloval, jestli to opravdu pujde tak snadno. (Vysledek je e)

To ctvrte jsem naprosto nechapal jak na to, napsal jsem si definici konkavnosti a zjistil, ze pres to to asi nepujde. Pak jsem to zkusil pres druhe derivace, to k necemu vedlo, jenze co kdyz ta funkce nema druhou derivaci (no mozna se da dokazat, ze konkavni funkce druhou derivaci maji...)

Na ustnim jsem dostal axiom suprema a Lagrangeovu vetu, nebylo to zrovna to, co jsem chtel, ale nakonec to dopadlo paradne. Jo a zeptal se me jeste na Rolleovu vetu...

To ste to meli fakt takhle lehky? Zadna konvergentni rada? Na ustni jenom takova lehkost jako Lagrangeova a Rolleova veta?

Jo, myslim, ze to bylo celkem lehky (ty prvni dve limity). Na druhou stranu Lagrangeova veta nebyla zrovna to, co bych chtel (to byly Taylorovy rady). U axiomu suprema to vypadalo, ze ideu dukazu, kterou nam na prednasce rikal, ani moc nechce...

Kdybych vedel, ze tam nebudou integraly, tak by asi bylo i mnohem lehci se to naucit.

Jakou máte hodinovou dotaci MA? Já nechápu, jak jste mohli stihnout Taylora a ještě nejaký integrály. Zdá se mi, že je toho na jeden semestr trochu moc. Co všechno jste dělali?
BTW ta 4 vůbec neplatí. Je to snadné - třeba f(x)=sqrt(x), g(x)=-x^(3/2). Pak h = g(f) (tj. h(x)=-x^(3/4)) je ryze konvexní na [0,infty). Přitom f i g jsou konkávní. Ale podobné tvrzení může fungovat takhle: Nechť g je neklesající a konkávní na I, f je konkávní na J a f(J) je podmnožinou I. Pak g(f) je konkávní na J. Důkaz je trivka přímo z definice.

Martin wrote:Jakou máte hodinovou dotaci MA? Já nechápu, jak jste mohli stihnout Taylora a ještě nejaký integrály.

Mame 4 hodiny prednasek tydne + 2 hodiny seminar. Na konci semestru jsme meli z integralu: substituce, integrovani racionalnich funkci, Riemanna a Newtona a nejaky dukazy s Riemannovym integralem.

Vy matematici to ale urcite berete vic dopodrobna - predpokladam, ze jste treba brali řezy? Tak my jsme akorát zadefinovali R jako mnozinu trid ekvivalence na mnozine neprazdnych shora omezenych podmnozin Q a pak zobrazili Q -> R. Fyzici to berou jeste o neco rychlejs.

BTW ta 4 vůbec neplatí.

Njn, tak se měl vymyslet protipříklad. Když sem si napsal definici konkavnosti, tak sem si rikal, ze to platit nemusi, zkusil jsem vymyslet protipriklad, ale nepovedlo se, tak jsem se na to "strategicky" vykaslal, ze to pravdepodobne bude pravdive a pokracoval sem v dokazovani...