NMAG337 Úvod do teorie grup

KV
Učitel:doc. Mgr. Jan Šaroch, Ph.D.
Odkaz do SISu:NMAG337

Průběh přednášek 2025/26

  1. Úvod, def. Ω\Omega-grupy a morfismů, tvrzení 1.1-1.4 a 1.6

  2. Ω\Omega-inv. podgrupy, index podgrupy, Lagrangeova věta, faktorgrupy, jádro homom., tvrzení 1.7-1.11

  3. Generované podgrupy, izomorfismy svazů grup, tvrzení 1.12-1.19

  4. ??? TODO

  5. Normalizátor, centralizátor, tvrzení 2.3-2.5, 3.1

  6. Grupa vnějších autom., iterovaná centra, tvrzení 3.2-3.13

  7. Komutátor, komutant, řešitelné grupy, součin grup, semidirektní součin, tvrzení 1.14-3.18, 4.1-4.3

  8. Působení grupy na množinu, tvrzení 4.4-4.5, 7.1-7.3

  9. Transizitivní, (semi)regulární působení, ekvivalence působení, tvrzení 7.7-4.7, 7.10-7.11

Úkoly:

  1. Vyjmenujte podgrupy S4S_4, určete jejich normalitu. (do 27. 10.)

  2. Dokažte, že pro XX nekonečné je A(X)A_{(X)} jednoduchá. (do 10. 11.)

  3. Které z dihedrálních grup jsou nilpotentní? (do 24. 11.)

  4. Ať GG grupa, uvažujme Cayleyho vnoření η:G→SG,η(g)=Lg,Lg:x↦gx\eta: G\to S_G, \eta(g)=L_g, L_g:x\mapsto gx. Dokažte, že NSG(Im(η)))≃G⋊φAut(G)N_{S_G}(\text{Im}(\eta))) \simeq G \rtimes_\varphi \text{Aut}(G), kde φ=idAut(G)\varphi = \text{id}_{\text{Aut}(G)}(do 8. 12.)

Na zápočet jsou potřeba 2 body, za správné řešení jednoho úkolu je 1 bod.

Na zkoušku tvrzení do 10.5.

Materiály

Šaroch používá skripta od Aleše Drápala: "Teorie grup, základní aspekty", konkrétně prvních 10 kapitol. Skripta jde půjčit v Tróje, jinak je k dispozici PDFko první části.

Když učil před lety předmět David Stanovský, měl k nim svoje částečná skripta.