(a) [2 body] Definujte, co je to strom

(b) [8 bodů] Mějme přirozené číslo $n \ge 2$ a nechť $T$ je strom, ve kterém pro každé přirozené číslo $k$ takové, aby platilo $2 \le k \le n$, existuje právě jeden vrchol stupně $k$. Určete v závislosti na parametru $n$, kolik má $T$ listů.

(a) [2 body] Nechť $(X, \le)$ je nějaká částečně uspořádaná množina.

$x \in X$ je nejmenší prvek č.u.m pokud

$x \in X$ je minimální prvek č.u.m pokud

(b) [5 bodů] Nechť $W = \{ 1, ..., 10 \} \times \{ 1, ..., 10 \}$ Na množině $W$ definujeme relace $R$ a $S$ takto:

• $((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \in R$ právě tehdy, když $x_1 \le x_2$

• $((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \in S$ právě tehdy, když $y_1 \le y_2$

Je relace $R$ částečné uspořádání? Pokud ano, jaké jsou všechny minimální prvky?

(c) [5 bodů] Pro relace $R$ a $S$ definované výše uvažme relaci $R \cap S$ na množině $W$. Je tato relace částečné uspořádání? Pokud ano, jaké jsou všechny minimální prvky?

Formulujte dokažte větu o existenci dobrého 5-obarvení pro rovinné grafy.

V osudí se nachází 10 bílých a 20 černých kuliček. Vylosujeme popořadě a bez vrácení 10 kuliček (vybíráme vždy náhodně 1 kulčiku, uniformně ze všech, které jsou v tuto chvíli v osudí). Jako $A_i$ označme jev $i$-tá vylosovaná kulička je bílá, $i \in \{1, ..., 10 \}$.

a. [4 body] Jaká je pravděpodobnost, že žádná z vylosovaných kuliček není bílá?

b. [4 body] Jaká je pravděpodobnost jevu $A_2$?

c. [4 body] Jsou jevy $A_1$, $A_2$, $A_3$ nezávislé? Odpověď podpořte výpočtem podle def. nezávislosti jevů, pouze intuitivní zdůvodnění nestačí.