Matfyz Wiki
Ahoj,
včera ráno jsme psali Mlčkův test z predikátové logiky. Na začátku bylo krátké povídání o některých používaných pojmech (sic!), odpovědi byly typu platí/neplatí (značeno x/-) a nevšiml jsem si, že by měl někde napsanou variantu testu, takže existuje možná jen jedna...
Nuže otázky byly takovéto (dle rozboru s cvičícím hned po testu):
(E značí existenční kvantifikátor, V všeobecný kvantifikátor, K je \kapa, tedy kardinalita, w je \omega, fi, psi jsou formule... no snad si to nějak přeberete :) )
a)
|- (Ex)(fi -> psi) <-> (fi -> (Ex)psi) -- neplatí, x může být totiž volná ve fi
|- fi <-> fi', kde fi' je varianta fi -- platí, myslím, že je to dokázané ve skriptech
b)T |- fi -> psi => T |- fi -> (Vx)psi -- neplatí
T |- fi <=> T |- fi', fi' je instance fi -- neplatí, platí jen =>
Buď T L-teorie, L' extenze L, T' teorie v L' s mimologickými axiomy právě z T
T' konzervativní extenze T -- platí
T kompletní => T' kompletní -- neplatí, L' můžeme rozšířit o 2 konstanty
I(K, T) <= I(K, T') -- platí, přes jednoznačnost reduktů
I(K, T) = 1 => I(K, T') = 1
Nechť L je spočetný jazyk, ptáme se, zda-li jsou třídy modelů axiomatizovatelné:
K = {A \in M(L): |A| je liché} -- neplatí, není axiomatizovatelná
{A \in M(L): |A| nespočetně velké} -- neplatí, pokud má model větší než kardinalita jazyka, má všechny modely větší než kard. jazyka
{A \in M(L): |A| sudé nebo nekonečné} -- platí
L = (<=, c), kde <= je binární relační symbol a c konstanta, T je DeLO* (teorie hustého lineárního uspořádání) navíc s axiomem "existuje největší prvek".
T je kompletní -- neplatí
I(w, T) = 1 -- neplatí (I je izomorfní spektrum teorie T v kard. w)
I(w, T) = 5 -- platí, lze najít právě 5 spočetných modelů: 1) neexistuje nejmenší prvek a c = největší prvek; 2) neexistuje nejmenší prvek a c != největší prveků; 3) existuje nejmenší prvek a c = největší prvek; 4) existuje nejmenší prvek a c = nejmenší prvků; 5) existuje nejmenší prvek, c != nejmenší prvek, c != největší prvek
I(w, T) = w -- neplatí
něco o 3 neekvivalentních jednoduchých extenzí (?) -- neplatí
w-kategoričnost jednoduchých kompletních extenzí (?) -- platí
