Matfyz Wiki

Pisemka Gregor 8.12.2011

mathemage at 2011-12-09 23:52:37

  1. Uvedte platna tvrzeni:
    a) ΘP(T)=ΘP(ΘP(T))\Theta_\mathbb{P}(T) = \Theta_\mathbb{P}(\Theta_\mathbb{P}(T))
    b) ΘP(T∩S)=ΘP(T)∩ΘP(S)\Theta_\mathbb{P}(T\cap S) = \Theta_\mathbb{P}(T)\cap\Theta_\mathbb{P}(S)
    b) T⊆S⇒ΘP(T)⊆ΘP(S)T\subseteq S \Rightarrow \Theta_\mathbb{P}(T)\subseteq\Theta_\mathbb{P}(S)
    (Plati a), c) )

  2. Budte P={p,q,r}\mathbb{P} = \{p, q, r\} a teorie ve vyrokove logice T=qT = {q}. Kolik je jednoduchych extenzi teorie T?
    (M(T)=22=4M(T) = 2^2 = 4, S je jednoducha extenze T prave tehdy kdyz M(S)⊆M(T)M(S) \subseteq M(T), tedy extensi je celkem jako podmnozin tridy modelu: 2M(T)=24=162^{M(T)} = 2^4 = 16)

  3. Necht mame ∣P∣≥ω|P| \ge \omega, tridu modelu K=2P−{v}K = 2^{\mathbb{P}} - \{v\}. Je KK axiomatizovatelne?
    (Sporem: K axiomatizovatelne, -K tez axiomatizovatelne skrze teorii {pv(p)∣p∈P}\{p^{v(p)}| p\in\mathbb{P}\}, tedy dle vety z prednasky je -K konecne axiomatizovatelne. Muzeme techto konecne axiomu spojit konjunkci do jedne formule, neboli ∃φ:M(φ)=−K\exists\varphi: M(\varphi) = -K. To, zda-li je nejake pravdivostni ohodnoceni modelem teto teorie zalezi jen a pouze na prvovyrocich vyskytujicich se ve formuli φ\varphi, zbytek lze volit libovolne. Ovsem zbyvajicicich prvovyroku je ∣P∣|\mathbb{P}|, tedy vsech moznych modelu teto teorie je ∣M(φ)∣=2∣P∣|M(\varphi)| = 2^{\mathbb{|P|}}. Zaroven ovsem ∣M(φ)∣=∣−K∣=∣{v}∣=1|M(\varphi)| = |-K| = |\{v\}| = 1, coz je spor!)