Pisemka Gregor 10.11.2011

Oznacte platna tvrzeni:
a) $M(T, \varphi_1) \cup \dots \cup M(T, \varphi_n) = M(T, \varphi_1 \vee \dots \vee \varphi_n)$
b) $M(T, \varphi_1) \cup \dots \cup M(T, \varphi_n) \supseteq M(T, \varphi_1 \vee \dots \vee \varphi_n)$
c) $M(T, \varphi_1) \cap \dots \cap M(T, \varphi_n) = M(T, \varphi_1 \& \dots \& \varphi_n)$
(jen c). Proc a) a b) neplati? Tam plati ta jedina treti mozna inkluse $\subseteq$)

Mejme jazyk $L = <F>$ s rovnosti, kde $F$ je binarni funkcni symbol. Dale uvazme L-strukturu $\mathcal{A} = <\mathbb{R}, \cdot>$, kde $\cdot$ jest obvykle nasobeni realnych cisel. Je v $\mathcal{A}$ definovatelna (s formuli v jedne promenne bez parametru) mnozina $(0, +\infty)$?
(Ano. - napr. formule $(\exists_{=2}y)(F(y,y) = x$, slovy existuji prave 2 y, ze jejich ctverec je x. Tj. kladna cisla maji $\pm\sqrt{x}$ ruzne.)

Uvazme strukturu $\mathbb{J}_2(0)$ - viz Mlckovy skripta (teorie $SC_0$), popis je zde na mne moc dlouhy. Je kazda jeji podstruktura opet modelem $SC_0$?
(Ne. - V $\mathbb{J}_0\restriction(2\times\mathbb{N})$ nema $<1,0>$ predchudce, i kdyz by ho jako nenulovy prvek mit mel, tj. mel by splnovat axiom $x eq0 \rightarrow (\exists y)(Sy = x)$)