zkouška 21.1.2010 Trlifaj

1. G je cyklická grupa řádu p^k, p prvočíslo, k>0. Urči nejmenší n takové, že existuje prostý homomorfismus z G do S_n.

2. K komutativní těleso, G graf bez orientovaných cyklů. Nechť I značí K-podprostor algebry cest KG generovaný všemi cestami v G. Dokaž a) I je oboustranný ideál v KG b) I neobsahuje žádné nenulové idempotentní prvky.

3. G,H,K jsou grupy. f : G -> H, g: G -> K jsou grupové homomorfismy a Im(f) = H. Dokaž, že Ker(f) je podmnožinou Ker(g) právě tehdy, když existuje grupový homomorfismus h : H -> K takový, že h o f = g.

4. R komutativní okruh, P prvoideál. Nechť I značí extenzi P v lokalizaci R(P) ( I = PS^(-1), kde S = R \ P). Dokažte, že I je jeho jediný maximální ideál v R(P).
   Návod (přímo od Trlifaje jako součást zadání): Dokažte, že prvky R(P) \ I jsou invertibilní v R(P).

5. K kategorie, D diagram v K. Dokaž, že pokud existuje limita D v K, pak je jednoznačně určena až na isomorfismus.
   Body: 6 8 6 6 6
   Známky 24+ = 1, 18+ = 2, 12+ = 3, 11- = 4. (přibližně, nepamatuju si přesně).

Dojem: fakt málo času na to, že většina je vymýšlecí.

Him - Edit: opraveno datum

Sice to bylo 21.1. a ne 21.2., ale jinak souhlasim s tim, že bylo málo času... A celkově se mi to zdálo dost těžký... Chtěl sem se ale zeptat: víte někdo jistě, že Trlifaj bude vypisovat termíny mimo zkouškový? Slyšel sem, že by měl bejt termín v září. Nebo i třeba během LS? Díky.

No jo, pardon .... jsem byla včera po zkoušce ještě docela zmatená. (-:

Doneslo se ke mně, že by měly být ještě dva termíny po zkouškovém a jeden v září. Ale taky to mám z druhé ruky ...

No zda se mi, ze prof. Trlifaj dava rok od roku zaludnejsi zadani, ale zrovna tohle se mi nezda moc tezke. Asi je slusnost sem dalsim rokum napsat reseni, at vidi, co je ceka (kdyby to bylo blbe, napiste, uz si Algebry I tak dobre nepamatuju)

1. G je cyklická grupa řádu p^k, p prvočíslo, k>0. Urči nejmenší n takové, že existuje prostý homomorfismus z G do S_n.

Trik: BUNO G = Z_p^k, prvek 1 se musi zobrazit pri monomorfismu $\phi$na prvek radu p^k. V S_n je rad prvku $\pi$ roven nejmensimu spol. nasobku delek cyklu v cyklickem zapisu $\pi$. Odsud plyne, ze cyklicky zapis $\phi(\pi)$ musi obsahovat alespon p^k prvku. Proto n = p^k.

2. K komutativní těleso, G graf bez orientovaných cyklů. Nechť I značí K-podprostor algebry cest KG generovaný všemi cestami v G. Dokaž a) I je oboustranný ideál v KG b) I neobsahuje žádné nenulové idempotentní prvky.

Cast a) je jasna, plyne z def nasobeni (vrchol nasobenim nedostanete). Cast b) plyne z toho, ze pro prvek $k_1e_1+\cdots+k_ne_n$ existuje hrana $e_i$, ktera nenavazuje na zadnou z ostatnich $e_j$.

3. G,H,K jsou grupy. f : G -> H, g: G -> K jsou grupové homomorfismy a Im(f) = H. Dokaž, že Ker(f) je podmnožinou Ker(g) právě tehdy, když existuje grupový homomorfismus h : H -> K takový, že h o f = g.

Prepis dukazu vety o homomorfismu, protoze H je izo G/Ker f.

4. R komutativní okruh, P prvoideál. Nechť I značí extenzi P v lokalizaci R(P) ( I = PS^(-1), kde S = R \ P). Dokažte, že I je jeho jediný maximální ideál v R(P).
   Návod (přímo od Trlifaje jako součást zadání): Dokažte, že prvky R(P) \ I jsou invertibilní v R(P).

To uz si nepamatuju :?:

5. K kategorie, D diagram v K. Dokaž, že pokud existuje limita D v K, pak je jednoznačně určena až na isomorfismus.

Skripta.