Zkouška 14.1.2011 (Upgrade: řešení)

(1) $\psi$ je akce grupy $G$ na $G\times G$; $\psi(g): G\times G \rightarrow G\times G$ takové, že $(g_1,g_2) \rightarrow (g_2\odot g,g_2)$. Popište orbity. (5b.)

(2) Nechť G je grupa řádu p², p prvočíslo. Dokažte, že G je komutativní. (8b.)

(3) Dokažte, že každý ideál v podílovém okruhu $RS^{-1}$ je tvaru $IS^{-1}$ pro nějaký ideál v R. (7b.)

(4) Dokažte existenci a jednoznačnost limity digramu \xymatrix{A \ar@/^/[r]^f \ar@/_/[r]_g &B} v kategorii modulů. (7b.)

(5) Nechť $\varphi_i: G\rightarrow GL(n_i,K)$ je reprezenatce grupy G stupně n_i nad K (i=1,2). Dokažte, že existuje reprezentace $\psi : G\rightarrow GL(n_1+n_2,K)$ stupně n₁+n₂ taková, že $Ker\psi = Ker\varphi_1\cap Ker\varphi_2$ (5b.)

Řešení:

(1) $\forall (g_1,g_2)\in G\times G$ je $O_{(g_1,g_2)}=\{\psi(h)((g_1,g_2)); h\in G\}=(G,h)$, protože v první složce se jedná o pravou translaci (orbitou je celá grupa) a ve druhé se jedná o identitu (pouze jednobodové orbity).

(2) Viz skripta věta 1.61.

(3) Viz skripta věta 2.31.

(4) Viz skripta příklad 2.64.

(5) Definujme $\psi(g):= \left( \begin{array}{cc} \varphi_1(g) & \begin{array}{cc} 0 & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} \\ \begin{array}{cc} 0 & \ldots \\ \vdots & \ddots \end{array} & \varphi_2(g) \end{array} \right)$. Snadno se ukáže že je to požadovaná reprezentace.

Známkování:

32 - 24 bodů: výborně
23 - 18 bodů: velmi dobře
17 - 12 bodů: dobře
0 - 11 bodů: neprospěl/a