Zkouška 26. 5. 2011

Pokusím se si vzpomenout na zadání:

1. Nechť $R$ je obor integrity a $f$ nenulový symetrický polynom z $S_R[x_1, \dots, x_n]$ takový, že $ht(f) = (k_1, \dots k_n)$. Dokaže, že platí $k_1 \geq k_2 \geq\dots\geq k_n$. (6 bodů)

2. Každé komutativní těleso charakteristiky O je perfektní (bylo to více rozepsáno). (7 bodů)

3. Nechť $T\subsetneq U$ jsou konečná tělesa řádu p. Dokažte, že potom existují čísla m a n taková, že $\vert T\vert = p^m$ , $\vert U\vert = p^n$ a platí $m\vert n$. (7 bodů)

4. Nechť R je obor integrity splňující podmínku (D). Ukažte, že potom pojmy ireducibilní prvek a prvočinitel splývají. (8 bodů)

5. Pro svaz $(L, \wedge, \vee )$ platí $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$. Dokažte, že potom $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$. (6 bodů)

Řešení (podle skript z http://www.primat.cz)

1. Lemma 7.14

2. Důsledek 8.14

3. Plyne z poznatků o konečných tělesech.

4. Lemma 5.8, Lemma 5.22

5. Věta 12.16