Dokazovací otázky u zkoušky 2017 (Žemlička)

Sepsal jsem dokazovací otázky, které byly zadány na prvních pěti termínech roku 2017.

DŮKAZY NĚJAKÉHO TVRZENÍ:
Dokažte, že zobrazení f: G -> G je homomorfismus, když f je dáno předpisem f(g) = h^-1×g×h.

Dokažte, že pro okruh R a dva ideály I, J je I+J ideál, kde I+J je definované jako i+j pro všechny i z I a j z J

Buď R(+,,-,0,1) okruh a a element R. Dokažte, že množina l(a) := { r element R | ea = 0} je levý ideál okruhu R.

Dokažte, že průnik dvou pravých ideálů je pravý ideál.

Px je systém podmnožin neprázdné množiny X. Dokažtě, že Px je s operací ÷ (symetrická diference)
je to komutativní grupa.
Operace je definovaná jako A÷B = (AuB)(AnB) = (A\B)u(B\A), kde n je průnik a u je stednocení.

DŮKAZY VĚT ZE SKRIPT: (v závorce je číslo věty ve skriptech platné pro verzi skript z 4.1.2017)
Existuje-li ireducibilní polynom řádu n, tak dokažte, že existuje těleso o p^n prvcích, kde p je prvočíslo. (11.8.)

věta o homomorfismu a 1. věta o izomorfismu (5.5.)

Dokažte, že je grupa cyklická <==> je izomorfní Z(+) nebo Zn(+) (nezapomenout na zpětnou implikaci) (6.4.)

věta o izomorfismu algeber (13.6.)

Formulujte a dokažte vzorec pro výpočet Eulerovy funkce. Máme daný rozklad n na prvočísla... (3.9.)

Přidávám otázky z 13.2.2017.

DŮKAZY NĚJAKÉHO TVRZENÍ:
Nechť $G(\cdot)$ je grupa. Dokažte, že je množina $Z(G) = \{ g \in G | \forall h \in G: h \cdot g = g \cdot h \}$ normální podgrupa grupy $G(\cdot)$.

DŮKAZY VĚT ZE SKRIPT:
Zformulujte a dokažte tvrzení, které říká, kdy je faktor komutativního okruhu tělesem. (Věta 10.8 ze skript 4.1.2017)