Žemlička 18. 1. 2015

Standardní formát. Celkem 32 bodů, na trojku je potřeba alespoň 18.

1. (1b) Napište Eukleidův algoritmus.

2. (1b) Uveďte definici faktorové grupy (vč. značení a definice operací).

3. (1b) Je grupa permutací $S_3(\circ)$ komutativní? Stručně zdůvodněte.

4. (1b) Rozhodněte, zda množina lichých čísel tvoří podgrupu grupy $\mathbb{Z}(+)$. Stručně zdůvodněte.

5. (1b) Uveďte všechny (až na isomorfismus) cyklické grupy.

6. (1b) Uveďte definici homomorfismu mezi algebrami $A(\alpha_i\mid\ i\in I)$ a $B(\alpha_i\mid\ i\in I)$.

7. (1b) Uveďte 1. větu o isomorfismu pro algebry.

8. (1b) Jsou grupy $\mathbb{Z}_{12}(+)$ a $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4(+)$ isomorfní? Stručně zdůvodněte.

9. (1b) Popište vztah množiny kongruencí a ideálů okruhu.

10. (1b) Definujte Booleovu algebru.

11. (2b) Spočítejte, kolik invertibilních prvků obsahuje $\mathbb{Z}_{999}(\cdot)$.

12. (2b) Nakreslete svaz kongruencí grupy $\mathbb{Z}_{30}(+)$.

13. (2b) Rozhodněte zda grupa $S_5(\circ)$ obsahuje podgrupu řádu a) 4, b) 6, c) 7. Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete.

14. (2b) Generuje prvek 16 grupu $\mathbb{Z}{170}(+)$? Generuje prvek 16 grupu $\mathbb{Z}{171}(+)$? Stručně zdůvodněte.

15. (7b) Je-li $G(\cdot)$ konečná cyklická grupa a $A, B$ její podgrupy, dokažte, že $|A\cap B|=\text{gcd}(|A|,|B|)$. Můžete k tomu použít všechna tvrzení z přednášky (nezapomeňte je správně ocitovat).

16. (7b) Dokažte, že aspoň dvouprvkový okruh je (obecně nekomutativní) těleso, právě když obsahuje právě dva levé ideály.

Pro zájemce uvádím jenom stručně své řešení (po opravě).

1. viz skripta

2. viz skripta

3. není, můžeme vzít např. permutace (132) a (13)(2) - jejich složení dá z každé strany jiný výsledek

4. netvoří podgrupu, protože není uzavřená (liché číslo + liché číslo je sudé číslo)

5. stačilo se odkázat na tvrzení z přednášky o tom, že všechny cyklické grupy jsou isomorfní celým číslům (buď nekonečným nebo konečným)

6. viz skripta

7. viz skripta

8. ano, dle čínské věty o zbytcích je pro 3, 4 (nesoudělná čísla) zobrazení H(x) bijekcí

9. tady chtěl napsat tvrzení, že svazy ideálů a kongruencí jsou isomorfní

10. viz skripta

11. počítáme Eulerovu funkci pro 999, výsledek je 648

12. úlohu lze převést isomorfismem na svaz podgrup, potom už není složité nakreslit Hasseho diagram

13. a) ano, libovolná grupa generovaná 4-cyklem, b) ano, např. S3, c) ne, protože 7 nedělí 120 (Lagrange)

14. první grupu negeneruje, protože gcd(16,170)=2, takže v grupě nikdy nebudou lichá čísla; druhou grupu generuje, protože gcd(16,171)=1

15. Lagrange nám zaručí, že velikost průniku je společným dělitelem čísel |A| a |B|; aby se ukázalo, že je největší, předpokládejme, že číslo d je gcd(|A|,|B|); protože G je cyklická, má právě jednu podgrupu D řádu d; protože je navíc d dělitelem obou čísel |A| i |B|, musí D být podgrupou A i B zároveň, tudíž musí ležet v jejich průniku; z toho vyplývá, že d dělí velikost průniku a protože obě tato čísla jsou společní dělitelé čísel |A| a |B|, přičemž d je z definice největší možné číslo s touto vlastnosti, musí se rovnat, proto průnik A, B je roven D a velikost průniku je rovna d = gcd(|A|,|B|).

16. viz důkaz ve skriptech