Zkouška 21.1.2015

Kalkulačku jsme mít mohli. Případné hodnoty normálního rozdělení (normovaného) nám napsali na tabuli, když jsme si o ně řekli.

1. 4 lovci vystřelili současně na jelena, který byl zasažen právě jednou střelou. Pravděpodobnosti zásahu jednotlivých střelců jsou 0.2, 0.4, 0.6, 0.8. Jaká je pravděpodobnost, že jelena trefil čtvrtý střelec?

2. Rozdělení hmotností narozených slonů má normální rozdělení se střední hodnotou 175kg a směrodatnou odchylkou 25kg. Jaký podíl slonů se narodí težší než 225kg?

3. Mějmě náh. vel. X~$Exp(\mu)$

• Jaký má tvar distribuční funkce a jaké jsou její vlastnosti?

• Spočtěte střední hodnotu a rozptyl.

• Co rozumíme tím, že exp. rozdělení nemá paměť?

4. Mějme náh. vel. X a Y. X nabývá hodnoty $i \in \mathbb{N}_0$ s pravděpodobností $p_i$, Y nabývá hodnoty $i \in \mathbb{N}_0$ s pravděpodobností $q_i$. Mějme Z=X*Y.

• Jaké je rozdělení Z, pokud jsou X a Y nezávislé?

• Co musí $p_i$ a $q_i$ splňovat, aby měla úloha smysl?

• Jaká je definice nezávislosti náhodných veličin?

5. $A_1,\dots, A_n$ náhodné jevy

• Kdy jsou tyto jevy neslučitelné a kdy sdruženě nezávislé?

• Kdy jsou po pěti nezávislé?

• Jaký je principiální rozdíl mezi neslučitelností a nezávislostí?

• Příklad nezávislých jevů

• Příklad neslučitelných jevů

6. Máme náhodný výběr s rozdělením $Po(\lambda)$

• Odhadněte parametr $\lambda$ metodou maximální věrohodnosti. (teda doufám, že to byl parametr, co se mělo odhadovat)

• Odhadněte parametr $\lambda$ metodou momentů.

• Obě metody podrobně vysvětlete.

7. Máme náhodný generátor čísel. Čísla mají stejnou šanci. Generuje se číslo z množiny $\{0\dots 9\}$. Vygenerováno budiž $n$ čísel.

• Jaké je rozdělení lichých čísel? Jaké má parametry?

• Kolik simulací musíme provést, aby mezi těmi $n$ čísly byly alespoň 3 sudá s pravděpodobností 0.95?

8. Něco s autem, váha 5 tun. Hmotnost pasažéra: střední hodnota 75kg, směrodatná odchylka 25kg. Kolik lístků můžeme prodat, abychom auto nepřetížili o více než 100kg s pravděpodobností 0.95?

9. Máme studentky VŠE. Zkoumá se něco jako, jaký vliv má nošení štrasových náušnic na délku uší. Pokud budeme znát kompletní data o délce levého a pravého ucha každé té studentky, tak jak bychom teoreticky postupovali při testování hypotézy: délka levého ucha = délka pravého ucha.

kačus wrote: 3) Mějmě náh. vel. X~$Exp(\mu)$

• Jaký má tvar distribuční funkce a jaké jsou její vlastnosti?

Přesněji něco jako „Napište distribuční funkci veličiny X. Jaké má vlastnosti?“.

kačus wrote: 6) Máme náhodný výběr s rozdělením $Po(\lambda)$

• Odhadněte parametr $\lambda$ metodou maximální věrohodnosti. (teda doufám, že to byl parametr, co se mělo odhadovat)

Výběr z rozdělení. Ale to je jenom formalita.

Ano, odhadovat se měl parametr 𝜆.

kačus wrote: 7) Máme náhodný generátor čísel. Čísla mají stejnou šanci. Generuje se číslo z množiny $\{0\dots 9\}$. Vygenerováno budiž $n$ čísel.

• Jaké je rozdělení lichých čísel? Jaké má parametry?

• Kolik simulací musíme provést, aby mezi těmi $n$ čísly byly alespoň 3 sudá s pravděpodobností 0.95?

Máme generátor náhodných čísel. Generuje čísla z množiny {0 … 9}, každé se stejnou pravděpodobností.

• Určete rozdělení počtu lichých čísel ve výběru velikosti n.

• Kolik čísel musíme vygenerovat, aby mezi nimi byla alespoň 3 sudá s pravděpodobností 0.95?

kačus wrote: 8) Něco s autem, váha 5 tun. Hmotnost pasažéra: střední hodnota 75kg, směrodatná odchylka 25kg. Kolik lístků můžeme prodat, abychom auto nepřetížili o více než 100kg s pravděpodobností 0.95?

Těch pět tun bylo myšlených jako nosnost auta.

kačus wrote: 9) Máme studentky VŠE. Zkoumá se něco jako, jaký vliv má nošení štrasových náušnic na délku uší. Pokud budeme znát kompletní data o délce levého a pravého ucha každé té studentky, tak jak bychom teoreticky postupovali při testování hypotézy: délka levého ucha = délka pravého ucha.

Zjistilo se, že je populární nosit těžké náušnice jenom na pravém uchu. Hypotéza, kterou jsme chtěli testovat, tuším byla, jestli má nošení náušnic vliv na délku ucha.