Hlávka 26.5.2015

Tak dneska velmi podobná písemka jako minulé roky

Otázky:

1. Určete $c$ tak aby $f(x) = c(1-x)^2$ byla hustota na $[0,1]$; nakreslete hustotu a určete její vlastnosti

2. Spočítejte střední hodnotu a distribuční funkce z předchozího příkladu; určete její vlastnosti

3. MLE na $f_\Theta(x) = \frac{1}{2e^{\Theta}} e^{\frac{-|x|}{\Theta}}$ (aspoň myslim, že to tak bylo... rozhodně ta absolutní hodnota jo)

4. Spočtete limitní distribuci $\hat\Theta$ (hint: Fisher)

5. Dostali jsme 20 čísel a k tomu zadání ala "Byla naměřena hladina nějaké látky ve vzorku (viz data). Norma určuje, že hladina nesmí být větší než 20.3. Otestujte jestli můžeme prodávat nebo ne."

Tipy:
1), 2) triv
3) podle slajdů, nezapomeňte na druhou derivaci pro ověření extrémů
4) tohle byl snad bonus, ale s poznámkama je to v pohodě
5) pozor na správnou hypotézu a alternativu (tj $H_0: \mu = 20.3$, resp. vzorek splňuje normu, a $H_1: \mu > 20.3$). Dále se nenechte zmást tím, že jsou data zapsaná po dvojicích - pořád je to jednovýběrový t-test!

Ústní:

1. Já měl přesně obráceně hypotézu a alternativu v 5), ale měl jsem možnost si to obhájit a vysvětlit, co je chyba I. a II. druhu a proč jsem ji tak zvolil (ikdyž s tím moc nesouhlasil) :lol:

2. Chtěl bez počítání (!!!) tipnout střední hodnotu 3) a zhruba nakreslit hustotu (ono je to jasný, protože fce je sudá)

3. Intervalový spolehlivosti 5)

4. MM na 3) - pozor chyták, je potřeba použít rovnou druhé momenty

5. nějaké drobné otázky, to už bylo ok

Info:

• na písemnou si můžete přinést jakékoli písemné materiály (stejně jsou k ničemu pokud nevíte co testujete)

• na ústní pak už pomůcky dovolené nejsou

• tabulky nám půjčil

• kalkulačka je nutná (20 kvadrátů z hlavy fakt nejde)

• úlohy 1), 2) a 5) jsou povinné, bez nich jdete domů se čtyřkou - zbylé + ústní rozhodují o známce

• čas 120min, reálně je potřeba tak 45min

Zrovna jsem se chystal to sepsat, ale už jsem byl předběhnut :D Tak jen doplním ještě své postřehy:

Ad 3: v ústní části po mě také chtěl momentový odhad, nicméně s tím, že mi dal k dispozici střední hodnotu. Tu jsem jen položil rovnu výběrovému průměru a bylo hotovo, druhé momenty jsem nepotřeboval.

Ad 4: Tady bylo trochu nečekané to, že oproti většině příkladů, které jsem do té doby viděl, se ta hustota po dvou derivacích nesmrskla do konstanty (která je logicky svojí vlastní střední hodnotou), ale zbylo tam nějaké to x. Bylo tedy nutné spočítat střední hodnotu transformované veličiny, na což je vzorec, který jsem neznal, resp. jsem si ho v tu chvíli nevybavil. Měl by být takto: $E(t(X)) = \int \! t(x)f(x) \, \mathrm{d}x.$ kde $f(x)$ je hustota X a $t(x)$ je nějaká transformace. Vzhledem k tomu, že to byla bonusová úloha, tak to nijak nevadilo.

Ad 5: Já jsem si také jako alternativní hypotézu zvolil $H_1: \mu < 20.3$, což se panu docentovi úplně nelíbilo, ale nijak za to netrestal. Osobně si myslím, že toto dává mnohem větší smysl: Potřebuji mít jistotu, že vzorek je bezpečný, když ho chci prodávat. Při opačné hypotéze můžu tak akorát dokázat, že vzorek je nebezpečný, když nulovou hypotézu zamítnu, ale pokud ji nezamítnu, tak vzorek bezpečný může být, ale i nemusí, což je mi jako informace docela na nic :D No je to taková polemika, každopádně pointa je, že dokud o tom člověk dokáže nějak rozumně argumentovat, tak to bez problémů projde. Opravdový prohřešek by byl nacpat tam nějaký úplně jiný test...

Co já jsem vyrozuměl, tak nutnou podmínkou bylo "něco" v jedničce a pak vybrat správný test v pětce. Co bylo postačující, to nevím, ale neřekl bych, že by se to nějak výrazněji lišilo.

Zkouška je to v zásadě lehká, i na jedničku se stačí pouze naučit řešit 4 typy příkladů. Některé ty záležitosti mohou vypadat na první pohled strašidelně (Fisher...), ale ve skutečnosti je to jen dosazení do vzorců. Problém by asi byl, pokud by se pan Hlávka začal více rýpat v tom, co za těmi vzorci stojí, jak fungují a co dalšího z nich vyplývá...(ve slajdech toho je dost a dost), ale to se naštěstí nestalo :D

ad 3) střední hodnota je nula, na momentový odhad je potřeba použít druhé momenty. Když jsem u to řekl, dal mi rozptyl a pak to bylo jednoduché.
ad 4) nebo se stačí dívat na všechny $\Theta$ jako na konstanty a spočítat $E(X)$
ad 5) přesně tak, je potřeba si to umět obhájit, ale mě s tím dusil fakt dlouho (asi protože mi moc nevyšel zápočtový úkol :twisted: )

Jak říká kolega, ta teorie není (evidentně) vyžadována, což je nakonec dobře

Když tak nad tím přemýšlím, tak u té trojky jsem nedostal EX ale E|X|. To jsem položil rovno sum(|X|)/n a z toho ten odhad vypadl hned.