Sylabus

1b. D'Alembertův princip. Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Hamiltonovy kanonické rovnice.

D'Alembertův princip

(1742)

Síly mechanické soustavy jsou v rovnováze, přičteme-li k silám vtištěným síly setrvačné.

Vtištěné síly jsou "opravdové" síly známého charakteru (gravitační, elektromagnetická, ... )

Matematicky pro soustavu $N\,$ hmotných bodů

$\sum_{i=1}^{3N} (m^i \ddot{x}^i-F_i) \delta x^i=0$

kde $\delta x^i\,$

jsou virtuální posunutí (klasicky: nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami, geometricky: vektory z tečného prostoru vazby). Vazby zde představují omezení jinak volného pohybu (nejjednodušším případem vazby je např. matematické kyvadlo).

Vazby (popsané rovnicí $\varphi(\vec{r}) = 0$) dělíme podle několika základních kritérií

• podle geometrie

  • oboustranná: $\varphi(\vec{r}) = 0$

  • jednostranná: $\varphi(\vec{r}) \geq 0$

• podle závislosti na čase

  • skleronomní (nezávislá na čase): $\varphi(\vec{r})$

  • rheonomní (měnící se s časem): $\varphi(\vec{r},t)$

• podle závislosti na rychlosti

  • holonomní (nezávislá na rychlosti): $\varphi(\vec{r},t)$

  • neholonomní (závislá na rychlosti): $\varphi(\vec{r},t,\vec{v})$

D'Alembertův princip platí jen pro vratná virtuální posunutí, tedy taková virtuální posunutí $\delta x^i\,$, pro která platí, že i $-\delta x^i\,$ je virtuální posunutí. Pro nevratná virtuální posunutí ($-\delta x^i\,$ není virtuální posunutí) platí úprava D'Alembertova principu s nerovností.

Speciální případy D'Alembertova principu:

• Newtonovy pohybové zákony - pohyb bez vazeb: $\delta x^i\,$ je zcela libovolné. Z toho plyne, že

$(m^i \ddot{x}^i-F_i) = 0\ \ \ \ \ \ \forall i$

Ekvivalentně

$m^i \ddot{x}^i = F_i$

• Princip virtuální práce (Johann Bernoulli, 1717)

Žádný pohyb (statika): $\ddot{x}^i = 0$ a tedy platí

$\sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i=0$

(práce - součin síly a posunutí). Princip virtuální práce říká, že práce systému při virtuální výchylce z rovnovážné polohy je nulová (umožňuje tedy najít rovnovážnou polohu). Formálně lze psát $\delta A = 0\,$.

Speciálně pro konzervativní síly platí

$0 = \delta A = \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i= - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \delta x^i = - \delta V(x^j)$

jednoduše $\delta V = 0\,$, tedy změna potenciálu je při virtuálním posunutí nulová $\Rightarrow$ v rovnováze má potenciál extrém (labilní, stabilní, indiferentní rovnováha).

Lze dokázat, že D'Alembertův princip je ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím I. druhu (pro $N\,$ hmotných bodů a $v\,$ vazeb):

$m^i \ddot{x}^i = F_i + \sum_{k=1}^v \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i}$

s vazbami

$\varphi_k\,(x^j,t)=0$

($i=1,2,...,3N\,$, $j=1,2,...,3N\,$ a $k=1,2,...,v\,$). $F_i\,$ je i-tá komponenta výslednice vtištěných sil, $\lambda_k\,$ jsou Lagrangeovy multiplikátory. Celkem máme $3 N + v\,$ rovnic pro stejný počet neznámých.

Lagrangeovy rovnice II. druhu

Pro efektivnější popis systému je vhodné zavést zobecněné souřadnice $q^1, q^2, ... , q^n\,$ (vhodně zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému). Používáme $n\,$ zobecněných souřadnic, kde $n = 3 N - v\,$ je počet stupňů volnosti systému. Dále předpokládáme, že existuje regulární vztah $x^i = x^i\,(q^1, q^2, ... , q^n)$ ($x^i\,$ jsou kartézské složky poloh jednotlivých hmotných bodů).

Zobecněné souřadnice popisují konfigurační prostor $Q\,$ všech možných poloh (konfigurací) systému, což ale není prostor fyzikálních stavů - vypovídá jen o polohách (Zénonův paradox - poloha neurčuje stav systému, rychlost nepoznám z polohy). Proto $Q\,$ doplníme o rychlostní parametry $\dot{q}^1, \dot{q}^2, ... , \dot{q}^n$, zobecněné rychlosti (dodatečné parametry nezávislé na poloze). Formálně $\frac{\partial q^i}{\partial q^j}=\delta_{ij}$ a

$\frac{\partial \dot{q}^i}{\partial \dot{q}^j}=\delta_{ij}$, ale $\frac{\partial \dot{q}^i}{\partial q^j}=0$ a

$\frac{\partial q^i}{\partial \dot{q}^j}=0$.

Pro $N\,$ hmotných bodů a $v\,$ vazeb můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu (LR II)

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j$

kde $T\,(q^j, \dot{q}^j, t) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m^i \left( \frac{\partial x^i}{\partial q^k}\dot{q}^k + \frac{\partial x^i}{\partial t}\right)^2$ je kinetická energie a $Q_j := \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ zobecněná síla. Tyto rovnice představují soustavu $n = 3 N - v\,$ obyčejných diferenciálních rovnic pro stejný počet neznámých $q^j(t)\,$.

Speciálně pokud jsou síly $F_i\,$ konzervativní, lze obecně komplikované složky zobecněné síly $Q_j\,$ vyjádřit pomocí jediné skalární veličiny - potenciálu $V\,$ (neboť $F_i = - grad V\,$). Konkrétně

$Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \frac{\partial V}{\partial q^j}$

Lagrangeovy rovnice II. druhu lze pak přepsat do tvaru

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial V}{\partial q^j}$

neboť $\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j} = 0$ (potenciál $V\,$ je funkcí pouze $q^j\,$, ale nezávisí na $\dot{q}^j$ ani na $t\,$). Celkem tedy můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu pro konzervativní síly

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j} = 0$

kde $L := T - V\,$ je Lagrangeova funkce (lagrangián) ($L\,(\dot{q}^j, q^j, t)$).

Pro některá silová pole lze nalézt tzv. zobecněný potenciál $V\,(\dot{q}^j, q^j, t)$ (narozdíl od "normálního" potenciálu závisí i na rychlosti a na čase). To je případ třeba elektromagnetické interakce. Předchozí rovnice pro konzervativní pole pak platí pro Lagrangeovu funkci vypočtenou právě ze zobecněného potenciálu.

Integrály pohybu (IP)

Integrál pohybu je nějaký výraz $f\,(q^j, \dot{q}^j, t)$, který zůstává v čase konstantní pro skutečný pohyb. Neboli $f\,(q^j, \dot{q}^j, t) = f\,(q^j(t), \dot{q}^j(t), t) = f\,(t) = konst\,\,\forall t$ (zde $q^j(t)\,$ jsou trajektorie řešící LR II. Pro různé trajektorie $q^j(t)\,$ je přitom příslušná hodnota $f(t) = konst\,$ obecně různá).

Existují věty užitečné při hledání integrálů pohybu:

• a) Pokud Lagrangeova funkce $L\,$ nezávisí na některé zobecněné souřadnici $q^i\,$, pak výraz $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}$ je integrálem pohybu. Říkáme, že $q^i\,$ je cyklická.

• b) Pokud Lagrangeova funkce $L\,$ nezávisí explicitně na čase $t\,$, pak výraz $h\,(q^j, \dot{q}^j) := \sum_{j=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \dot{q}^j - L$ je integrálem pohybu. Tento výraz $h\,$ se nazývá zobecněná energie.

Pokud jsou působící síly konzervativní a pokud vazby jsou holonomní a skleronomní, pak platí $h = T + V\,$. Obecně rheonomní vazby dodávají / odebírají systému energii a proto se $T + V\,$ nezachovává, může se ale zachovávat $h\,$ (za předpokladů uvedených výše).

Pohyb částice v centrálním poli

je důležitou aplikací Lagrangeova formalismu. Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar

$L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r)$

Zřejmě $\varphi$ je cyklická $\Rightarrow$ $\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m r^2 \dot{\varphi} = l = konst$, což je známý zákon zachování momentu hybnosti $l\,$ (konkrétně jeho $\,z$-ové složky).

Navíc $L\,$ nezávisí explicitně na čase $\Rightarrow$ $h = konst\,$, zde dokonce $h = T + V = E = konst\,$ (zákon zachování celkové mechanické energie).

Dosazením obou rovnic do výrazu pro lagrangián po krátkých úpravách dostáváme

$\dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}= \frac{2}{m} \left[ E - V(r) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star)$

Pro určení trajektorie ($r(\varphi)$) použijeme následující trik: Zavedeme funkci $u(\varphi) = \frac{1}{r(\varphi)}$. Zjevně platí

$\dot{r}(t) = \frac{d r (t)}{d t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{u(\varphi(t))}\right) = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d \varphi} \dot{\varphi} = - \frac{l}{m} \frac{d u}{d \varphi}$

(v poslední rovnosti jsme dosadili ze zákona zachování hybnosti). Dosazením tohoto výrazu do rovnice $(\star)$ a zderivováním podle $\varphi$ po jednoduchých úpravách dostaneme Binetův vzorec pro pohyb částice v libovolném centrálním poli

$\frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac{d V}{d u}$

(zadáním konkrétního tvaru potenciálu $V(u)\,$ dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci $u(\varphi)$, z jejího řešení pak snadno získáme $r(\varphi) = \frac{1}{u(\varphi)}$).

Metoda efektivního potenciálu

Umožňuje kvalitativní rozbor možných pohybů bez explicitního řešení příslušné diferenciální rovnice. Rovnici $(\star)$ upravím do tvaru

$\dot{r}^2 = \frac{2}{m} \left[ E - \left( V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2} \right) \right] = \frac{2}{m} \left[ E - V_{ef}(r) \right] \geq 0$

Pohyb je tedy možný jen pro taková $r\,$, pro která $V_{ef}(r) \leq E$. V místě $V_{ef}(r) = E\,$ ($\dot{r} = 0$) je tzv. bod obratu v radiálním směru (radiální složka rychlosti je nulová, pohyb blíže ke zdroji centrálního pole již není možný).

Pohyb dvou těles

Studujme pohyb 2 objektů ($m_1, \vec{r}_1, m_2, \vec{r}_2$) se vzájemnou gravitací. Lagrangián problému má tvar

$L = \frac{1}{2} m_1 \dot{\vec{r}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\vec{r}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Úlohu lze snadno převést na úlohu v centrálním poli: Zavedeme nové souřadnice - polohu těžiště soustavy

$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$

a relativní polohu

$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$

Lagrangián má teď jiný tvar

$L = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r}$

Zjevně $\vec{R}$ je cyklická souřadnice $\Rightarrow$ $\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{R}}} = (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}} = konst$. Celková hybnost je konstantní, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - s výhodou lze přejít do těžišťové soustavy, kde $\vec{R} = 0$. Lagrangián lze ještě zjednodušit na

$L = \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r} = T - V$

Zde $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ je tzv. redukovaná hmotnost. Pohyb dvou těles jsme převedli na problém pohybu v centrálním poli.

Hamiltonovy kanonické rovnice

Další možnost k popisu systému nabízí Hamiltonův formalismus. Hamiltonův formalismus je matematickým konstruktem, při kterém z Lagrangeovy funkce přejdeme Legendreovou transformací k jisté funkci $H(q^i,p_i,t)$, kterou označíme Hamiltoniánem. Konfigurační prostor pak nahradíme fázovým prostorem. Ten je tvořen zobecněnými souřadnicemi $q^i\,$ a kanonicky sdruženými hybnostmi $p_i\,$. Jak je známo z vlastností Legendreovy transformace, při tomto procesu neztrácíme žádnou informaci a bod ve fázovém prostoru plně určuje stav systému(závěr: stačí si pamatovat, že přechod od L k H je Legendreova transformace, všechno ostatní je na 5min odvození z tohoto faktu).

Kanonické hybnosti jsou definovány vztahem

$p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (+)$

K popisu systému pak stačí znát Hamiltonovu funkci (hamiltonián)

$H (q^i, p_i, t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t)$

kde za zobecněné rychlosti $\dot{q}^i$ dosazujeme z inverze vztahu $(+)$.

Pohybovými rovnicemi tohoto formalismu jsou Hamiltonovy kanonické rovnice (HKR)

$\frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q^i}{d t} = \dot{q}^i$

$\frac{\partial H}{\partial q^i} = - \frac{d p_i}{d t} = - \dot{p}_i$

Pokud hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu, neboť

$\frac{d}{d t} \left( H(q^i(t), p_i(t)) \right) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^n \left( -\dot{p}_i \dot{q}^i + \dot{q}^i \dot{p}_i \right) = 0$

Zavedeme Poissonovy závorky

$\{u,v\} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q^i} \frac{\partial u}{\partial p_i}$

speciálně $\{q^r,q^s\} = 0\,$, $\{p_r,p_s\} = 0\,$, $\{q^r,p_s\} = \delta{rs}\,$. Poissonovy závorky jsou lineární a splňují Jacobiho identitu

$\{w,\{u,v\}\} + \{v,\{w,u\}\} + \{u,\{v,w\}\} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (J)$

Je-li $u\,(q^i, p_i)\,$ integrálem pohybu, lze psát

$0 = \frac{d u}{d t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial u}{\partial p_i} \dot{p}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q^i} = \{u,H\}$

čili $\{u,H\} = 0\,$. Předpokládejme navíc, že také $v(q^i, p_i)\,$ je IP ($\Leftrightarrow$ $\{v,H\} = 0\,$). Použitím $(J)\,$ dostáváme

$\{\{u,v\},H\} = - \{\{v,H\},u\} - \{\{H,u\},v\} = 0\,$

tedy $\{u,v\}\,$ je také IP. Většinou ale není nezávislým IP.

Pomocí Poissonových závorek můžeme HKR psát ve tvaru

$\dot{q}^i = \{q^i,H\}$

$\dot{p}_i = \{p_i,H\}$

Kanonické transformace

Zkoumáme změnu parametrizace fázového prostoru, tedy transformaci $(q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i)$

Def.: transformace je kanonická, pokud zachovává kanonickou strukturu, tzn. že pohybové rovnice v nových souřadnicích jsou opět HKR. Ekvivalentně, že existuje funkce $H'(Q^i,P_i,t)$, pro kterou platí

$\frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i$

$\frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i$

(zdaleka ne každá transformace je kanonická). Hledání podmínek kanoničnosti transformace vede na následuící větu:

Lagrangeova funkce $L + \frac{d F}{d t}$, kde $F\,$ je libovolná (hladká) funkce, dává stejné pohybové rovnice jako funkce $L\,$. Tuto funkci $F\,$ nazýváme generující funkcí kanonické transformace, přičemž předpokládáme, že závisí na

• starých souřadnicích / hybnostech

• nových souřadnicích / hybnostech

Rozlišujeme 4 druhy generujících funkcí, které jsou vzájemně svázány Legendreovou duální transformací:

$F_1\,(q^i, Q^i, t)$

$F_2\,(q^i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i$

$F_3\,(p_i, Q^i, t) = F_1 - \sum_{i=1}^n p_i q^i$

$F_4\,(p_i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i - \sum_{i=1}^n p_i q^i$

(analogie s termodynamikou $F_1 \sim U,\ F_2 \sim H,\ F_3 \sim F,\ F_4 \sim G,\ q \sim S,\ Q \sim V,\ p \sim T,\ P \sim p$). Kanonické transformace tvoří grupu.

Jak prakticky ověřit, že daná transformace je kanonická?

• 1 Pomocí Poissonových závorek: transformace $(q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i)$ je kanonická $\Leftrightarrow$ $\{Q^i,P_j\} = \delta_{ij},\ \{Q^i,Q^j\} = 0,\ \{P_i,P_j\} = 0$.

• 2 Pomocí následující tabulky (konkrétně z libovolného řádku třetího sloupce)

$H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_a}{\partial t} \mid_{po\ dosaz.}$ kde $j=1,2, ... , n,\ \ a = 1,2,3,4$| Věta: Poissonovy závorky jsou invariantní vůči kanonické transformaci: $\forall\ f,g : \{f,g\}_{q,p} = \{f,g\}_{Q,P}$, tzn.| $\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial q^i} \frac{\partial f}{\partial p_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial Q^i} \frac{\partial g}{\partial P_i} - \frac{\partial g}{\partial Q^i} \frac{\partial f}{\partial P_i}$ |Liouvilleova věta| Objem fázového prostoru je invariantní vůči kanonickým transformacím.| konkrétně pro $n=1\,$:| $V = \int \int dQ dP = \int \int |J| dq dp = \int \int dq dp$ neboť| $= \frac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = \{Q,P\} = 1$ kde poslední rovnost plyne z kanoničnosti transformace. ==Hamiltonova - Jacobiho teorie== Jedna z dalších formulací analytické mechaniky. Využijeme kanonickou transformaci generovanou např. funkcí $F_1\,(q^j,Q^j,t)$: $\frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i \ \ \ \ \ \ (1)$ $\frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = - P_i \ \ \ \ \ \ (2)$ $H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_1}{\partial t} \ \ \ \ \ \ (3)$ přičemž v nových souřadnicích opět platí HKR: $\frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i \ \ \ \ \ \ (4)$ $\frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i \ \ \ \ \ \ (5)$ Navíc zvolíme speciální generují funkci $S\,(q^i,Q^i,t) = F_1$ takovou, že po transformaci $H' = 0\,$. Z rovnic $(4)$ a $(5)$ dostáváme $Q^i = konst = \alpha^i\,$ $P_i = konst = - \beta_i\,$ a vztah $(2)$ přepíšeme na $\frac{\partial S(q^j,\alpha^j,t)}{\partial \alpha^i} = \beta_i$ Inverzí získáme řešení $q^j\,(t,\alpha^i,\beta_i)$. Funkce $S$ se nazývá akce (akční funkcionál) a určíme ji z Hamiltonovy - Jacobiho rovnice: $H\left(q^i,\frac{\partial S}{\partial q^i},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$