# Sylabus

*1b. D'Alembertův princip. Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Hamiltonovy kanonické rovnice.*

## D'Alembertův princip

(1742)

*Síly mechanické soustavy jsou v rovnováze, přičteme-li k silám vtištěným síly setrvačné.*

Vtištěné síly jsou "opravdové" síly známého charakteru (gravitační, elektromagnetická, ... )

Matematicky pro soustavu $ N\,$ hmotných bodů

$ \sum_{i=1}^{3N} (m^i \ddot{x}^i-F_i) \delta x^i=0 $

kde 
$\delta x^i\,$

jsou *virtuální posunutí* (klasicky: nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami, geometricky: vektory z tečného prostoru vazby).
Vazby zde představují omezení jinak volného pohybu (nejjednodušším případem vazby je např. matematické kyvadlo).

Vazby (popsané rovnicí $ \varphi(\vec{r}) = 0 $) dělíme podle několika základních kritérií

- podle geometrie
    - oboustranná: $ \varphi(\vec{r}) = 0 $
    - jednostranná: $ \varphi(\vec{r}) \geq 0 $
- podle závislosti na čase
    - skleronomní (nezávislá na čase): $ \varphi(\vec{r})$
    - rheonomní (měnící se s časem): $ \varphi(\vec{r},t)$
- podle závislosti na rychlosti
    - holonomní (nezávislá na rychlosti): $ \varphi(\vec{r},t)$
    - neholonomní (závislá na rychlosti): $ \varphi(\vec{r},t,\vec{v})$

D'Alembertův princip platí jen pro *vratná* virtuální posunutí, tedy taková virtuální posunutí $\delta x^i\,$, pro která platí, že i $-\delta x^i\,$ je virtuální posunutí. Pro nevratná virtuální posunutí ($-\delta x^i\,$ není virtuální posunutí) platí úprava D'Alembertova principu s nerovností.

Speciální případy D'Alembertova principu:

- **Newtonovy pohybové zákony** - pohyb bez vazeb: $\delta x^i\,$ je zcela libovolné. Z toho plyne, že

$ (m^i \ddot{x}^i-F_i) = 0\ \ \ \ \ \  \forall i $

Ekvivalentně

$ m^i \ddot{x}^i = F_i $

- **Princip virtuální práce** (Johann Bernoulli, 1717)

Žádný pohyb (statika): $\ddot{x}^i = 0$ a tedy platí

$ \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i=0 $

(práce - součin síly a posunutí). Princip virtuální práce říká, že práce systému při virtuální výchylce z rovnovážné polohy je nulová (umožňuje tedy najít rovnovážnou polohu).  Formálně lze psát $\delta A = 0\,$.

Speciálně pro *konzervativní síly* platí

$ 0 = \delta A = \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i= - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \delta x^i = - \delta V(x^j) $

jednoduše $\delta V = 0\,$, tedy změna potenciálu je při virtuálním posunutí nulová $ \Rightarrow $ v rovnováze má potenciál extrém (labilní, stabilní, indiferentní rovnováha).

Lze dokázat, že D'Alembertův princip je ekvivalentní ***Lagrangeovým rovnicím I. druhu*** (pro $ N\,$ hmotných bodů a $ v\,$ vazeb):

$ m^i \ddot{x}^i = F_i + \sum_{k=1}^v \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i} $

s vazbami

$ \varphi_k\,(x^j,t)=0 $

($ i=1,2,...,3N\,$,  $ j=1,2,...,3N\,$  a  $ k=1,2,...,v\,$). $ F_i\,$ je *i*-tá komponenta výslednice vtištěných sil, $ \lambda_k\,$ jsou Lagrangeovy multiplikátory. Celkem máme $ 3 N + v\,$ rovnic pro stejný počet neznámých.

## Lagrangeovy rovnice II. druhu

Pro efektivnější popis systému je vhodné zavést *zobecněné souřadnice* $ q^1, q^2, ... , q^n\,$ (vhodně zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému). Používáme $ n\,$ zobecněných souřadnic, kde $ n = 3 N - v\,$ je počet stupňů volnosti systému. Dále předpokládáme, že existuje regulární vztah $ x^i = x^i\,(q^1, q^2, ... , q^n) $ ($ x^i\,$ jsou kartézské složky poloh jednotlivých hmotných bodů).

Zobecněné souřadnice popisují *konfigurační prostor* $ Q\,$ všech možných poloh (konfigurací) systému, což ale není prostor fyzikálních stavů - vypovídá jen o polohách (Zénonův paradox - poloha neurčuje stav systému, rychlost nepoznám z polohy). Proto $ Q\,$ doplníme o rychlostní parametry $ \dot{q}^1, \dot{q}^2, ... , \dot{q}^n $, *zobecněné rychlosti* (dodatečné parametry nezávislé na poloze). Formálně
$ \frac{\partial q^i}{\partial q^j}=\delta_{ij} $ a 

$ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial \dot{q}^j}=\delta_{ij} $, ale
$ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial q^j}=0 $ a 

$ \frac{\partial q^i}{\partial \dot{q}^j}=0 $.

Pro $ N\,$ hmotných bodů a $ v\,$ vazeb můžeme psát ***Lagrangeovy rovnice II. druhu*** (**LR II**)

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j $

kde $ T\,(q^j, \dot{q}^j, t) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3N} m^i \left( \frac{\partial x^i}{\partial q^k}\dot{q}^k + \frac{\partial x^i}{\partial t}\right)^2 $ je kinetická energie a $ Q_j := \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} $ zobecněná síla. Tyto rovnice představují soustavu $ n = 3 N - v\,$ obyčejných diferenciálních rovnic pro stejný počet neznámých $ q^j(t)\,$.

Speciálně pokud jsou síly $ F_i\,$ konzervativní, lze obecně komplikované složky zobecněné síly $ Q_j\,$ vyjádřit pomocí jediné skalární veličiny - potenciálu $ V\,$ (neboť $ F_i = - grad V\,$). Konkrétně

$ Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \frac{\partial V}{\partial q^j} $

Lagrangeovy rovnice II. druhu lze pak přepsat do tvaru

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial V}{\partial q^j} $

neboť $ \frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j} = 0 $ (potenciál $ V\,$ je funkcí pouze $ q^j\,$, ale nezávisí na $ \dot{q}^j $ ani na $ t\,$). Celkem tedy můžeme psát ***Lagrangeovy rovnice II. druhu pro konzervativní síly***

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j} = 0 $

kde $ L := T - V\,$ je ***Lagrangeova funkce*** (***lagrangián***) ($ L\,(\dot{q}^j, q^j, t) $).

Pro některá silová pole lze nalézt tzv. *zobecněný potenciál* $ V\,(\dot{q}^j, q^j, t) $ (narozdíl od "normálního" potenciálu závisí i na rychlosti a na čase). To je případ třeba elektromagnetické interakce. Předchozí rovnice pro konzervativní pole pak platí pro Lagrangeovu funkci vypočtenou právě ze zobecněného potenciálu.

### Integrály pohybu (IP)

Integrál pohybu je nějaký výraz $ f\,(q^j, \dot{q}^j, t) $, který zůstává v čase konstantní pro skutečný pohyb. Neboli $ f\,(q^j, \dot{q}^j, t) =  f\,(q^j(t), \dot{q}^j(t), t) = f\,(t) = konst\,\,\forall t$ (zde $ q^j(t)\, $ jsou trajektorie řešící LR II. Pro různé trajektorie $ q^j(t)\,$ je přitom příslušná hodnota $ f(t) = konst\,$ obecně různá).

Existují věty užitečné při hledání integrálů pohybu:

- a) Pokud Lagrangeova funkce $ L\,$ nezávisí na některé zobecněné souřadnici $ q^i\,$, pak výraz $ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} $ je integrálem pohybu. Říkáme, že $ q^i\,$ je *cyklická*.
- b) Pokud Lagrangeova funkce $ L\,$ nezávisí explicitně na čase $ t\,$, pak výraz $ h\,(q^j, \dot{q}^j) := \sum_{j=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \dot{q}^j - L $ je integrálem pohybu. Tento výraz $ h\,$ se nazývá *zobecněná energie*.

Pokud jsou působící síly konzervativní a pokud vazby jsou holonomní a skleronomní, pak platí $ h = T + V\,$. Obecně rheonomní vazby dodávají / odebírají systému energii a proto se $ T + V\,$ nezachovává, může se ale zachovávat $ h\,$ (za předpokladů uvedených výše).

### Pohyb částice v centrálním poli

je důležitou aplikací Lagrangeova formalismu. Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar

$ L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r) $

Zřejmě $ \varphi $ je cyklická $ \Rightarrow $ $ \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m r^2 \dot{\varphi} = l = konst $, což je známý zákon zachování momentu hybnosti $ l\,$ (konkrétně jeho $ \,z$-ové složky).

Navíc $ L\,$ nezávisí explicitně na čase $ \Rightarrow $ $ h = konst\,$, zde dokonce $ h = T + V = E = konst\,$ (zákon zachování celkové mechanické energie).

Dosazením obou rovnic do výrazu pro lagrangián po krátkých úpravách dostáváme

$ \dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}= \frac{2}{m} \left[ E - V(r) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star) $

Pro určení trajektorie ($ r(\varphi) $) použijeme následující trik: Zavedeme funkci $ u(\varphi) = \frac{1}{r(\varphi)} $. Zjevně platí

$ \dot{r}(t) = \frac{d r (t)}{d t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{u(\varphi(t))}\right) = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d \varphi} \dot{\varphi} = - \frac{l}{m} \frac{d u}{d \varphi} $

(v poslední rovnosti jsme dosadili ze zákona zachování hybnosti). Dosazením tohoto výrazu do rovnice $ (\star) $ a zderivováním podle $ \varphi $ po jednoduchých úpravách dostaneme ***Binetův vzorec*** pro pohyb částice v libovolném centrálním poli

$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac{d V}{d u} $

(zadáním konkrétního tvaru potenciálu $ V(u)\,$ dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci $ u(\varphi) $, z jejího řešení pak snadno získáme $ r(\varphi) = \frac{1}{u(\varphi)} $).

### Metoda efektivního potenciálu

Umožňuje kvalitativní rozbor možných pohybů bez explicitního řešení příslušné diferenciální rovnice. Rovnici $ (\star) $ upravím do tvaru

$ \dot{r}^2 = \frac{2}{m} \left[ E - \left( V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2} \right) \right] = \frac{2}{m} \left[ E - V_{ef}(r) \right] \geq 0 $ 

Pohyb je tedy možný jen pro taková $ r\,$, pro která $ V_{ef}(r) \leq E $. V místě $ V_{ef}(r) = E\,$ ($ \dot{r} = 0 $) je tzv. *bod obratu* v radiálním směru (radiální složka rychlosti je nulová, pohyb blíže ke zdroji centrálního pole již není možný).

### Pohyb dvou těles

Studujme pohyb 2 objektů ($ m_1, \vec{r}_1, m_2, \vec{r}_2 $) se vzájemnou gravitací. Lagrangián problému má tvar 

$ L = \frac{1}{2} m_1 \dot{\vec{r}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\vec{r}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} $

Úlohu lze snadno převést na úlohu v centrálním poli: Zavedeme nové souřadnice - polohu těžiště soustavy 

$ \vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2} $ 

a relativní polohu 

$ \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 $

Lagrangián má teď jiný tvar

$ L = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r} $

Zjevně $ \vec{R} $ je cyklická souřadnice $ \Rightarrow $ $ \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{R}}} = (m_1 + m_2) \dot{\vec{R}} = konst $. Celková hybnost je konstantní, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - s výhodou lze přejít do těžišťové soustavy, kde $ \vec{R} = 0 $. Lagrangián lze ještě zjednodušit na

$ L = \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{r} = T - V $

Zde $ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} $ je tzv. *redukovaná hmotnost*. Pohyb dvou těles jsme převedli na problém pohybu v centrálním poli.

## Hamiltonovy kanonické rovnice

Další možnost k popisu systému nabízí ***Hamiltonův formalismus***. Hamiltonův formalismus je matematickým konstruktem, při kterém z Lagrangeovy funkce přejdeme Legendreovou transformací k jisté funkci $ H(q^i,p_i,t) $, kterou označíme Hamiltoniánem. Konfigurační prostor pak nahradíme *fázovým prostorem*. Ten je tvořen zobecněnými souřadnicemi $ q^i\,$ a *kanonicky sdruženými hybnostmi* $ p_i\,$. Jak je známo z vlastností Legendreovy transformace, při tomto procesu neztrácíme žádnou informaci a bod ve fázovém prostoru plně určuje stav systému(závěr: stačí si pamatovat, že přechod od L k H je Legendreova transformace, všechno ostatní je na 5min odvození z tohoto faktu).

Kanonické hybnosti jsou definovány vztahem

$ p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (+) $

K popisu systému pak stačí znát ***Hamiltonovu funkci*** (***hamiltonián***)

$ H (q^i, p_i, t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i, t)$

kde za zobecněné rychlosti $ \dot{q}^i $ dosazujeme z inverze vztahu $ (+) $.

Pohybovými rovnicemi tohoto formalismu jsou ***Hamiltonovy kanonické rovnice*** (**HKR**)

$ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q^i}{d t} = \dot{q}^i $

$ \frac{\partial H}{\partial q^i} = - \frac{d p_i}{d t} = - \dot{p}_i $

Pokud hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu, neboť

$ \frac{d}{d t} \left( H(q^i(t), p_i(t)) \right) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} \dot{q}^i  + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^n \left( -\dot{p}_i \dot{q}^i + \dot{q}^i \dot{p}_i \right) = 0 $

Zavedeme ***Poissonovy závorky***

$ \{u,v\} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q^i} \frac{\partial u}{\partial p_i} $

speciálně $ \{q^r,q^s\} = 0\,$, $ \{p_r,p_s\} = 0\,$, $ \{q^r,p_s\} = \delta{rs}\,$. Poissonovy závorky jsou lineární a splňují *Jacobiho identitu*

$ \{w,\{u,v\}\} + \{v,\{w,u\}\} + \{u,\{v,w\}\} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (J) $

Je-li $ u\,(q^i, p_i)\,$ integrálem pohybu, lze psát

$ 0 = \frac{d u}{d t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial u}{\partial p_i} \dot{p}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q^i} = \{u,H\} $

čili $ \{u,H\} = 0\,$. Předpokládejme navíc, že také $ v(q^i, p_i)\,$ je IP ($ \Leftrightarrow $ $ \{v,H\} = 0\,$). Použitím $ (J)\,$  dostáváme

$ \{\{u,v\},H\} = - \{\{v,H\},u\} - \{\{H,u\},v\} = 0\, $

tedy $ \{u,v\}\,$ je také IP. Většinou ale není nezávislým IP. 

Pomocí Poissonových závorek můžeme HKR psát ve tvaru

$ \dot{q}^i = \{q^i,H\} $

$ \dot{p}_i = \{p_i,H\} $

### Kanonické transformace

Zkoumáme změnu parametrizace fázového prostoru, tedy transformaci $ (q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i) $

Def.: transformace je *kanonická*, pokud zachovává kanonickou strukturu, tzn. že pohybové rovnice v nových souřadnicích jsou opět HKR. Ekvivalentně, že existuje funkce $ H'(Q^i,P_i,t) $, pro kterou platí

$ \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i $

$ \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i $

(zdaleka ne každá transformace je kanonická). Hledání podmínek kanoničnosti transformace vede na následuící větu:

Lagrangeova funkce $ L + \frac{d F}{d t} $, kde $ F\,$ je libovolná (hladká) funkce, dává stejné pohybové rovnice jako funkce $ L\,$. Tuto funkci $ F\,$ nazýváme *generující funkcí kanonické transformace*, přičemž předpokládáme, že závisí na

- starých souřadnicích / hybnostech
- nových souřadnicích / hybnostech

Rozlišujeme 4 druhy generujících funkcí, které jsou vzájemně svázány *Legendreovou duální transformací*:

$ F_1\,(q^i, Q^i, t) $

$ F_2\,(q^i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i $

$ F_3\,(p_i, Q^i, t) = F_1 - \sum_{i=1}^n p_i q^i $

$ F_4\,(p_i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i - \sum_{i=1}^n p_i q^i $

(analogie s termodynamikou $ F_1 \sim U,\ F_2 \sim H,\ F_3 \sim F,\ F_4 \sim G,\ q \sim S,\ Q \sim V,\ p \sim T,\ P \sim p $). Kanonické transformace tvoří grupu.

Jak prakticky ověřit, že daná transformace je kanonická?

- 1 Pomocí Poissonových závorek: transformace $ (q^i,p_i) \rightarrow (Q^i,P_i) $ je kanonická $ \Leftrightarrow $ $ \{Q^i,P_j\} = \delta_{ij},\ \{Q^i,Q^j\} = 0,\ \{P_i,P_j\} = 0 $. 
- 2 Pomocí následující tabulky (konkrétně z libovolného řádku třetího sloupce)

|
|----|
  | |**generující funkce**| || |**podmínky kanoničnosti**| || |**podmínky integrability**|
  |- style="text-align:center"|
  | $ F_1\,(q^j,Q^j,t) $ || $ \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i,\ \frac{\partial F_1}{\partial Q^k} = - P_k $ || $ \frac{\partial p_i}{\partial Q^k} = - \frac{\partial P_k}{\partial q^i} $|
  |- style="text-align:center"|
  | $ F_2\,(q^j,P_j,t) $  || $ \frac{\partial F_2}{\partial q^i} = + p_i,\ \frac{\partial F_2}{\partial P_k} = + Q^k $ || $ \frac{\partial p_i}{\partial P_k} = \frac{\partial Q^k}{\partial q^i} $|
  |- style="text-align:center"|
  |  $ F_3\,(p_j,Q^j,t) $  || $ \frac{\partial F_3}{\partial p_i} = - q^i,\ \frac{\partial F_3}{\partial Q^k} = - P_k $ || $ \frac{\partial q^i}{\partial Q^k} = \frac{\partial P_k}{\partial p_i} $|
  |- style="text-align:center"|
  |  $ F_4\,(p_j,P_j,t) $ || $ \frac{\partial F_4}{\partial p_i} = - q^i,\ \frac{\partial F_4}{\partial P_k} = + Q^k $ || $ \frac{\partial q^i}{\partial P_k} = - \frac{\partial Q^k}{\partial p_i} $|
  |-|
  |}|
Příslušná transformace Hamiltoniánu:|
$ H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_a}{\partial t} \mid_{po\ dosaz.} $
kde $ j=1,2, ... , n,\ \ a = 1,2,3,4 $|
Věta: Poissonovy závorky jsou invariantní vůči kanonické transformaci: $ \forall\ f,g : \{f,g\}_{q,p} = \{f,g\}_{Q,P} $, tzn.|
$ \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial q^i} \frac{\partial f}{\partial p_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial Q^i} \frac{\partial g}{\partial P_i} - \frac{\partial g}{\partial Q^i} \frac{\partial f}{\partial P_i} $
|**Liouvilleova věta**|
Objem fázového prostoru je invariantní vůči kanonickým transformacím.|
konkrétně pro $ n=1\,$:|
$ V = \int \int dQ dP = \int \int |J| dq dp = \int \int dq dp $
neboť|
$ = \frac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = \{Q,P\} = 1 $
kde poslední rovnost plyne z kanoničnosti transformace.
==Hamiltonova - Jacobiho teorie==
Jedna z dalších formulací analytické mechaniky.
Využijeme kanonickou transformaci generovanou např. funkcí $ F_1\,(q^j,Q^j,t) $:
$ \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i \ \ \ \ \ \ (1) $
$ \frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = - P_i \ \ \ \ \ \ (2) $
$ H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_1}{\partial t} \ \ \ \ \ \ (3) $
přičemž v nových souřadnicích opět platí HKR:
$ \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i \ \ \ \ \ \ (4) $
$ \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i \ \ \ \ \ \ (5) $
Navíc zvolíme speciální generují funkci $ S\,(q^i,Q^i,t) = F_1 $ takovou, že po transformaci $ H' = 0\, $. Z rovnic $ (4) $ a $ (5) $ dostáváme
$ Q^i = konst = \alpha^i\, $
$ P_i = konst = - \beta_i\, $
a vztah $ (2) $ přepíšeme na
$ \frac{\partial S(q^j,\alpha^j,t)}{\partial \alpha^i} = \beta_i $
Inverzí získáme řešení $ q^j\,(t,\alpha^i,\beta_i) $.
Funkce $ S $ se nazývá *akce* (*akční funkcionál*) a určíme ji z ***Hamiltonovy - Jacobiho rovnice***:
$ H\left(q^i,\frac{\partial S}{\partial q^i},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $