Sylabus
Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření Intenzity elektrického a magnetického pole, elektrická a magnetická indukce. Materiálové vztahy. Metody měření elektrických a magnetických veličin. 10. Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé Ustálený a neustálený stav. Metody řešení elektrických obvodů. Kirchhoffova pravidla. Jouleův zákon.
'''Intenzita elektrického pole'''
Na základě fyzikálních experimentů můžeme popsat silové působení mezi dvěma náboji tzv. Coloumbovým zákonem, který má tvar:
::$
\mathbf{F_{12}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{|\mathbf{R}{12}|^3}\mathbf{R{12}} $
Experimentální zkušenost ukazuje, že silové působení mezi danou dvojicí nábojů je na přítomnosti dalších nábojů nezávislé. Podle věty o skládání sil, známé z mechaniky, můžeme proto celkovou sílu působící na náboj vyjádřit jako vektorový součet vyvolaných jednotlivými náboji až , takže Coulumbův zákon pak pro výslednou sílu mezi více náboji můžeme napsat jako:
::$
\mathbf{F} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{R_i^3} \mathbf{R_i} $
přičemž
Vektor intenzity elektrostatického pole bodových nábojů se pak definuje jako:
::$
\mathbf{E}(r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{R_i^3} \mathbf{R_i} $
Veličina představuje vektorové pole (elektrostatické pole) a je to vlastně síla, která působí v daném bodě na jednotkový kladný elektrický náboj. Vektor je definován v každém bodě prostoru, s výjimkou těch, v nichž se nacházejí náboje .
V reálu zpravidla neexistují bodové náboje ale makroskopicky nabitá tělesa o nějakém objemu. Podobně jako v mechanice můžeme zavést objemovou hustotu náboje . Náboj tělesa o objemu pak můžeme definovat jako:
::$
Q = \int_V \rho(r){\rm d}V $
veličinu E pak můžeme definovat jako:
::$\mathbf{E}(r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V \frac{\rho(r_i)}{|r-r_i|^3}{\bf \left(r-r_i\right)}{\rm d}V
$
Elektrostatické pole reálného tělesa je tedy možné vyjádřit jako pole vhodně zvolených diskrétně rozložených bodových nábojů, nebo jako pole spojitě rozloženého náboje. Intenzita pole je tedy všude spojitá s výjimkou povrchu tělesa o ploše S. Při průchodu touto plochou zůstávají spojité pouze její tečné složky. Její normálové složky se mění skokem o hodnotu . Platí tedy vztahy:
::$
E_{1t} - E_{2t} = 0 \ $
::$
E_{1n} - E_{2n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $
Elektrické pole můžeme vhodně znázornit pomocí siločar. Siločára je myšlená orientovaná čára vedená tak, že tečna v každém jejím bodě má směr vektoru intenzity elektrostatického pole. Hustota siločar je volena tak, aby byla úměrná velikosti intenzity v uvažovaném místě pole.
Z představy siločar se zavádí tok intenzity elektrostatického pole. Pro homogenní pole:
::$ \Phi = \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S}
$
Pro nehomogenní pole musíme vyjádřit tok intenzity přes jednotlivé plošky prostoru a sečíst je:
::$ \Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d} \mathbf{S}
$
kde a je normála k ploše .
Pro celkový tok intenzity elektrostatického pole uzavřenou plochou s náboji uvnitř dostaneme výraz:
::$ \Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S_n} = \int_0^{4\pi} \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_i}{r_i^2}r_i^2 ,{\rm d}\Omega = \frac{\sum Q_i}{\varepsilon_0}
$
kde
Vztahu:
::$ \int_S \mathbf{E_i} \cdot {\rm d}\mathbf{S_n} = \frac{\sum Q_i}{\varepsilon_0} = \frac{Q_c}{\varepsilon_0}
$
se říká Gaussův zákon elektrostatiky pro soustavu bodových nábojů. V případě rovnoměrného rozložení nábojů má Gaussův zákon tvar:
::$ \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S} = \frac {1}{\varepsilon_0} \int_V \rho , {\rm d}V
$
Gaussův zákon slovně: Celkový tok intenzity elektrostatického pole soustavy bodových nábojů libovolnou uzavřenou plochou S je roven celkovému náboji uzavřenému uvnitř této plochy dělenému permitivitou vakua.
Podle Gaussovy věty vektorové analýzy dostaneme:
::$ \int_V {\rm div}, \mathbf{E}, {\rm d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho , {\rm d}V
$
Objem je volen libovolně a tak poslední rovnice musí platit i pro "malé" objemy, neboli Gausssův zákon v diferenciálním tvaru:
::$ {\rm div}, \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_i}
$
Potenciál
Skalární funkci definovanou vztahem:
::$ \varphi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{|r-r_i|} + C
$
nazveme potenciálem elektrostatického pole. Potenciál souvisí s intenzitou vztahem
::$ \mathbf{E}(r) = - {\rm grad}, \varphi(r) , .
$
Při přemísťování náboje z jednoho místa na druhé, koná elektrostatické pole práci. Tu spočteme jako
::$ W = - \int_l F \cdot {\rm d}\mathbf{l} , .
$.
Uzavřená křivka: dosadíme-li postupně za sílu a za intenzitu dostaneme
::$ W = - Q\int_l \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{l} =-Q \int_S {\rm rot}, \mathbf{E}\cdot {\rm d}\mathbf{S} =-Q \int_S {\rm rot}, (-{\rm grad}, \varphi)\cdot {\rm d}\mathbf{S} = 0 , .
$
Neboli práce vykonaná elektrostatickým polem nezávisí na dráze - pole je konzervativní a je nevírové. Poslední vlastnost vyjadřuje rovnice:
::$ {\rm rot} , \mathbf{E} = 0 , .
$
'''Elektrická indukce'''
Látkám, které při vložení do elektrického pole izolují, říkáme dielektrika. U něj jsou nabité látkové částice vázány a působením vnějšího pole se nemohou vzdálit. Pro popis elektrostatického pole v přítomnosti dielektrika využíváme vektoru polarizace . Tento vektor souvisí s koncentrací plošných a objemových vázaných nábojů vztahy:
::$ \sigma(r) = \mathbf{P(r)}\cdot\mathbf{n} , ,
$
::$ \rho(r)= -{\rm div}, \mathbf{P(r)} , .
$
Obecně vzato mohou v dielektriku existovat i náboje volné vznikající při zelektrování dielektrika různým způsobem. Makroskopické hodnoty intenzity elektrostatického pole volných a vázaných nábojů budeme tedy superponovat:
::$ \mathbf{E} = \mathbf{E_0} + \mathbf{E_p} , .
$
Vztahem
::$ \mathbf{D(r)} = \varepsilon_0\mathbf{E(r)} + \mathbf{P(r)}
$
zavádíme nový vektor - vektor elektrické indukce. S jeho pomocí můžeme zapsat Gaussův zákon ve tvaru
::$
\int_S \mathbf{D}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = Q , , $
kde je celkový volný náboj (vázané náboje jsou zahrnuty ve vektoru elektrické indukce). Předpokládáme-li, že uvnitř plochy nejsou ani volné plošné náboje, můžeme známým způsobem přejít k diferenciálnímu tvaru Gaussovy věty:
::$
{\rm div}, \mathbf{D} = \rho , , $
kde představuje objemovou hustotu volných nábojů.
Podobně jako pro intenzitu elektrostatického pole platí:
::$
(\mathbf{D_1 - D_2})\cdot \mathbf{n} = \sigma , . $
'''Magnetická indukce'''
Jestliže se částice s nábojem pohybuje v blízkosti vodičů protékaných proudem či v blízkosti zmagnetovaných těles, lze ukázat, že celkovou sílu působící na částici lze vyjádřit vztahem, kterému se také říká Lorentzův
::$
\mathbf{F} = q[\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}] , , $
v němž je rychlost částice. Tento vztah může být považován za definiční vztah jak pro intenzitu , tak pro magnetickou indukci . Je-li elektrické pole nulové, působí na částici jen magnetická síla. Budeme-li místo zkušebního náboje q uvažovat působení magnetického pole na libovolný proud popsaný hustotou a budeme-li uvažovat sílu působící na nositele proudu v jednotkovém objemu vodiče, dostaneme pro hustotu síly vztah:
::$
\mathbf{f}= \mathbf{j}\times\mathbf{B} , . $
Stejně jako pro elektrostatické pole platí Gaussův zákon, pro libovolné magnetické pole platí Ampérův zákon:
::$
\int_l \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0 I , , $
kde proud je určen proudovou hustotou:
::$
I = \int_S \mathbf{j} \cdot {\rm d}\mathbf{S} , . $
Po dosazení a použití Stokesovy věty dostáváme integrální tvar Ampérova zákona:
::$
{\rm rot}, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} , . $
Podobně jako pro tok elektrického pole, zavádíme i magnetický tok. Veškerá dosavadní experimentální zkušenost ukazuje, že magnetický tok libovolnou uzavřenou plochou je roven nule:
::$
\Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{S} = 0 , , $
a tedy
::$
{\rm div}, \mathbf{B} = 0 , . $
Magnetické pole není zřídlové (neexistují magnetické náboje) ani potenciální.
Magnetickou indukci můžeme vyjádřit také pomocí vektorového pole vyhovující vztahu
::$ \mathbf{B(r)}= {\rm rot}, \mathbf{A(r)}
$
s kalibrační podmínkou
::$ {\rm div}, \mathbf{A(r)} = 0 , .
$
Obecné magnetické pole můžeme spočítat pomocí Biot-Savartova vzorce:
::$ \mathbf{B(r)} = {\rm rot}, \mathbf{A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{\mathbf{j(r)}\times\mathbf{R}}{R^3}, {\rm d}V , .
$
Magnetická indukce je spojitá všude s výjimkou plochy tělesa S, kde je nenulová hustota proudu . Při průchodu touto plochou platí pro tečné a normálové složky tyto vztahy
::$
\mathbf{B_{n1} - B_{n2} = 0} , , $
::$
\mathbf{B_{t1} - B_{t2}} = \mu_0\mathbf{j_s} , . $
'''Magnetická intenzita'''
Intenzita magnetického pole se zavádí pomocí Ampérova zákona v látkovém prostředí, který vypadá podobně jako mimo látkové prostředí, pouze s tím rozdílem, že na pravé straně bude vystupovat nejen celkový volný proud ale i vázaný proud
::$
\int_l \mathbf{B}\cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0(I+I^{(m)}) $
K vázanému proudu se dostaneme přes zajímavé zjištění, že magnetické pole vytvořené prostorovým rozložením magnetických dipólů s objemovou hustotou (vektor magnetizace) v objemu je totožné s magnetickým polem vytvořeným objemovými proudy hustoty tekoucími v objemu a plošnými proudy hustoty tekoucími na ploše ohraničující objem . Platí vztahy:
::$
\mathbf{j(r)_s^{(m)}} = \mathbf{M(r)}\times\mathbf{n} $
::$
\mathbf{j(r)^{(m)}} = {\rm rot}, \mathbf{M(r)} , . $
Pro vázaný proud pak platí
::$
\mathbf{I^{(m)}} = \int_S \mathbf{j(r)^{(m)}}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = \int_S {\rm rot}, \mathbf{M}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = \int_l \mathbf{M}\cdot {\rm d}\mathbf{l} , . $
Poslední vztah dosadíme do Ampérova zákona
::$
\int_l (\mathbf{B} - \mu_0 \mathbf{M})\cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0 I , . $
Intenzita se pak zavede:
::$
\left(\mathbf{B} - \mu_0\mathbf{M}\right) = \mu_0 \mathbf{H} , , $
nebo tradičně
::$
\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M} , . $
Intenzita má nespojité pouze tečné složky:
::$
\mathbf{(H_{1t} - H_{2t})=j_s} , . $
'''Materiálové vztahy'''
Vztah mezi elektrickou indukcí a intenzitou je obecně dán pomocí tenzoru elektrické susceptibility. Platí
::$
\mathbf{D(r)} = \epsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E(r)} , . $
Teď nastávají různé možnosti, jaké vlastnosti látka může mít:
anizotropní - susceptibilita je tenzor
izotropní - susceptibilita není tenzor
elektricky tvrdá - polarizace není nulová
elektricky měkká - polarizace je nulová
nehomogenní - susceptibilita závisí na poloze
homogenní - susceptibilita nezávisí na poloze
s disperzí - susceptibilita závisí na čase
bez disperze - susceptibilita nezávisí na čase
Podobně můžeme charakterizovat látky i co se týče magnetických vlastností
'''Metody měření elektrických a magnetických veličin'''
Pro měření v obvodu se stejnosměrným proudem se používají přístroje s otočnou cívkou - jsou dosti citlivé a mají lineární průběh stupnice. Pro měření napětí používáme voltmetry, které zapojujeme paralelně do obvodu. Odpor voltmetru by měl být mnohem větší než odpor obvodu.
Pro měření proudu používáme ampérmetr. Připojujeme sériově. Čím menší odpor ampérmetru, tím lepší.
Pro měření odporu existuje více metod:
Metoda přímá - odpor určíme z Ohmova zákona
Metoda srovnávací - srovnáváme velikost měřeného a přesného odporu. Tyto dva odpory zapojujeme sériově nebo paralelně.
Při sériovém zapojení sledujeme úbytek napětí na obou odporech, při paralelním sledujeme proudy, které jimi protékají.
Metoda substituční - zvláštní případ metody srovnávací - zapojíme odporovou dekádu a nastavíme hodnotu odporu tak, aby byla výchylka přístroje stejná pro měřený odpor i pro dekádu.
Metoda můstková - odpor určíme z podmínky rovnováhy můstku
Při měření střídavého napětí a proudu zpravidla určujeme efektivní hodnoty napětí a proudu. Platí:
$
U_{ef}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T U^2(t) dt $
$
I_{ef}^2 = \frac {1}{T}\int_0^T I^2(t) dt $
Speciálně pro sinusový průběh:
$
U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_{max} $
$
I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max} $
Metody měření magnetických veličin
K měření magnetické indukce můžeme použít několika metod:
metoda indukční - využívá jevu elektromagnetické indukce: změní-li závit polohu vůči
vyšetřovanému magnetickému poli, indukuje se v něm elektromotorické napětí
metoda Hallovy sondy - využívá Hallova jevu: v kovové desce protékané proudem a v magnetickém poli vznikne elektrické pole
Pro měření hysterezních smyček feromagnetik lze použít tyto metody:
metoda magnetometrická - založená na silových účincích měřeného magnetického
pole na permanentní otočný magnet ( = magnetometr)
metoda zobrazovací (zobrazení měřené smyčky oscilografem)