Matfyz Wiki
Diff for ''
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 1: | Line 1: |
| <div style="clear: right; float: right; line-height: 1.4; margin: 0 0 1em 1em; width: 16em; border: 1px solid #aaa;"> {| class="wikitable" style="font-size: 85%; margin-top: 0; width: 100%;" |- | style="font-size: 120%; font-weight: bold; text-align: center; background: #def;" |Prednášky z [[Vyčíslitelnost II_|Vyčísliteľnosti II]] |- !Obsah |- || *[[TIN065 Prehľad|Prehľad]] *[[TIN065 Prednáška 01|Prvá prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 02|Druhá prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 03|Tretia prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 04|Štvrtá prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 05|Piata prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 06|Šiesta prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 07|Siedma prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 08|Ôsma prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 09|Deviata prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 10|Desiata prednáška]] *[[TIN065 Prednáška 11|Jedenásta prednáška]] *Dvanásta prednáška *[[TIN065 Zhrnutie|Zhrnutie na skúšku]] |} </div> |
# Zkouška Jelínek 2.6.2025 1. Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem $$ f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases} $$ kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci. 1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava. 2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum). 3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$? 2. 1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat. 2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem $$ b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right) $$ Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:\ *"Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$, pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$."* 3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem $$ a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}. $$ Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu. 3. 1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je _spojitá_ v bodě $A \in \mathbb{R}$. 2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce. 3. [5 b.] Dokažte tu větu. 4. 1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti. 2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat. 3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$, tedy i v okolí nuly.) |