NMAI054/Zkouška Jelínek 2.6.2025 - Matfyz Wiki

Matfyz Wiki

Navigation
Index
Tags

Login

Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem
$f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases}$
kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci.
1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$ , případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava.
2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum).
3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$ ? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$ ?

1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat.
2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem
  $b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right)$
  Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:
  "Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$ , pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$ ."
3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem
  $a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}.$
  Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu.

1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je spojitá v bodě $A \in \mathbb{R}$ .
2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce.
3. [5 b.] Dokažte tu větu.

1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$ , která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti.
2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat.
3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$ . (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$ , tedy i v okolí nuly.)