Matfyz Wiki
Diff for ''
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 1: | Line 1: |
| <includeonly><div class="thumb {{#switch: {{{align|}}} | left = tleft | center | centre = tnone | tright}} {{#if: {{{noclear|}}} | no-clear }}" style="width:{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | vertical | {{#expr: {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width1}}} }} + 12}} | {{#if: {{{width|}}} | {{#expr: 8 + ({{{width|0}}} + 4) * {{#if: {{{image5|}}} | 5 | {{#if: {{{image4|}}} | 4 | {{#if: {{{image3|}}} | 3 | 2 }} }} }} }} | {{#expr: 16 + {{{width1}}} + {{{width2}}} + {{{width3|0}}} + {{{width4|0}}} + {{{width5|0}}} + {{#if: {{{image5|}}} | 12 | {{#if: {{{image4|}}} | 8 | {{#if: {{{image3|}}} | 4 | 0 }} }} }} }} }} }}px;{{#switch: {{{align|}}} | center | centre = margin: 0 auto;}}"> <div class="thumbinner"> {{#if: {{{header|}}} | <div style="clear:both;font-weight:bold;text-align:{{{header_align|center}}};background:{{{header_background|transparent}}};">{{{header}}}</div> }} <div style="{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | horizontal | float:left;}}margin:1px;width:{{#expr: 2 + {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width1}}} }} }}px;"><div class="thumbimage">[[Image:{{{image1}}}|{{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width1}}} }}px|{{{caption1|{{{box_caption}}}}}}]]</div>{{#if: {{{caption1|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;">{{{caption1}}}</div>}}</div> <div style="{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | horizontal | float:left;}}margin:1px;width:{{#expr: 2 + {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width2}}} }} }}px;"><div class="thumbimage">[[Image:{{{image2}}}|{{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width2}}} }}px|{{{caption2|{{{box_caption}}}}}}]]</div>{{#if: {{{caption2|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;">{{{caption2}}}</div>}}</div> {{#if: {{{image3|}}} | <div style="{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | horizontal | float:left;}}margin:1px;width:{{#expr: 2 + {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width3}}} }} }}px;"><div class="thumbimage">[[Image:{{{image3}}}|{{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width3}}} }}px|{{{caption3|{{{box_caption}}}}}}]]</div>{{#if: {{{caption3|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;">{{{caption3}}}</div>}}</div> {{#if: {{{image4|}}} | <div style="{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | horizontal | float:left;}}margin:1px;width:{{#expr: 2 + {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width4}}} }} }}px;"><div class="thumbimage">[[Image:{{{image4}}}|{{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width4}}} }}px|{{{caption4|{{{box_caption}}}}}}]]</div>{{#if: {{{caption4|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;">{{{caption4}}}</div>}}</div> {{#if: {{{image5|}}} | <div style="{{#ifeq: {{{direction|horizontal}}} | horizontal | float:left;}}margin:1px;width:{{#expr: 2 + {{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width5}}} }} }}px;"><div class="thumbimage">[[Image:{{{image5}}}|{{#if: {{{width|}}} | {{{width}}} | {{{width5}}} }}px|{{{caption5|{{{box_caption}}}}}}]]</div>{{#if: {{{caption5|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;">{{{caption5}}}</div>}}</div>}}}}}} {{#if: {{{footer|}}} | <div class="thumbcaption" style="clear:left;text-align:{{{footer_align|left}}};background:{{{footer_background|transparent}}};">{{{footer}}}</div> }}</div></div></includeonly><noinclude> {{documentation}} <!-- PLEASE ADD CATEGORIES AND INTERWIKIS TO THE /doc SUBPAGE, THANKS --> </noinclude> |
# Zkouška Jelínek 2.6.2025 1. Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem $$ f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases} $$ kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci. 1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava. 2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum). 3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$? 2. 1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat. 2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem $$ b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right) $$ Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:\ *"Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$, pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$."* 3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem $$ a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}. $$ Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu. 3. 1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je _spojitá_ v bodě $A \in \mathbb{R}$. 2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce. 3. [5 b.] Dokažte tu větu. 4. 1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti. 2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat. 3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$, tedy i v okolí nuly.) |