Matfyz Wiki
Diff for ''
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 1: | Line 1: |
| <center>[[Image:Jizak6.jpg]]</center> | # Zkouška Jelínek 2.6.2025 |
| Line 3: | Line 3: |
| 1. Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem | |
| Line 4: | Line 5: |
| == Jak to tady vypadá == | $$ f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases} $$ |
| Line 6: | Line 13: |
| '''Jižák''', areál pěti budov kolejí, menzy, dvou hospod ([http://www.elmagico.cz El Magico] a [http://www.klub-blanice.cz/?page_id=44 Blanice]) a budovy VŠE. A z těchto hospod je na obou stranách koleje otava premanentní hluk. O párty na chodbě, jež ruší celé patro a slabé stěně, přez kterou je slyšet sebemenší hluk z vedlejšího pokoje ani nemluvě. Prostě ani trochu klidu. Mezi vybavenost kolejí dále patří dvě smíšená zboží - v Blanici (typicky označovaný "U Zlodějky") a večerka Vltava (zatím bez přezdívky). U vstupu do koleje Otava je pobočka firmy Mironet, na koleji Otava je dále kadeřnictví (přístupné i zvenčí). U vstupu do koleje Vltava je umístěná pizzerie, ve večerních hodinách možnost donášky pizzy až na pokoj zdarma. | kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci. |
| Line 8: | Line 15: |
| * [http://blanice.vse.cz kolej '''Blanice'''] – ekonomové z VŠE * kolej '''Otava''' – přírodovědci a medici (hlavně medičky) UK a matfyzáci * kolej '''Vltava''' – přírodovědci a medici UK a matfyzáci (spodní patra), ekonomové VŠE (horní patra) * kolej '''Sázava''' – VŠCHT * kolej '''Volha''' – VŠCHT |
1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava. |
| Line 14: | Line 17: |
| Budovy jsou desetipatrové, část prvního patra je zabraná kancelářemi KaM a pokoji pro hosty. Na patře je 26 buněk na Blanici, Otavě až asi 18 na Sázavě. Každou buňku tvoří dva pokoje, se společnou předsíňí s uličkou pro skříně, koupelnou se sprchou, záchodem, kuchyňský koutem a místností s dřezem. Pokoje jsou dvoulůžkové a třílůžkové, takže na buňce je 4 nebo 6 lidí. Pokoje v nejjižnější části (1, 2, 3 a 4) jsou otočeny kolmo na ostatní, mají výhled směrem na jih a jsou vybaveny balkonem. Pokoje v nejsevernější části (Bla, Ot, Vlt: 21, 22, 23, 24, 25, 26) části jsou také vybaveny balkonem ale neliší se orientací oproti ostatním pokojům. |
2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum). |
| Line 20: | Line 19: |
| Všechny pokoje na Otavě a všechny pokoje na Vltavě pod správou UK jsou připojeny k internetu. Blanice a Vltava VŠE jsou pokryty WiFi, zpravidla v okolí vrátnice (typický výjev ekonomů s notebookem na klíně jak okolo půlnoci serfují na pohovce před vrátnicí). Podmínky na Sázavě a Volze mi nejsou známy. | 3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$? |
| Line 22: | Line 21: |
| (Kolej Volha je ve všem jiná, předchozí popis na ni neplatí.) | |
| Line 24: | Line 23: |
| == Jak se sem dostat == | 2. 1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat. |
| Line 26: | Line 25: |
| ''Platnost k 1.9. 2009'' | 2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem $$ b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right) $$ |
| Line 28: | Line 31: |
| Ze zastávky metra Chodov lze jet buď autobusem linky 177 nebo 197 do zastávky Volha, nebo linkami 136 a 154 do zastávky Koleje Jižní město. Nevýhodou je, že linky staví na opačné straně rušné silnice a tak si nemůžete vybírat až při příjezdu autobusu. U linek 136 a 154 lze vystoupit navíc o zastávku dříve na zastávce Na Jelenách, která má tu výhodu, že je blíže kolejím a vede velmi blízku bankomatu ČSOB, a naopak nevýhodu v podobě nezpevněné přístupové cesty, která se za deště stává neschůdná, a absence přechodu pro chodce na její přímé trase. Z Opatova jezdí na zastávku Volha autobus 177. V noci je pak ideální spojení autobusem 511, který staví na několika rušných bodech v centru města (např. Hlavní nádraží, Muzeum, I.P. Pavlova) a na kolej mu to trvá cca 15 minut. | Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:\ *"Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$, pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$."* 3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem |
| Line 30: | Line 36: |
| ''Pozn.: Autobusy jedoucí ze zastávky Volha na Chodov bývají, hlavně ve špičkách, značně přeplněné. Pro lidi, kteří se neradi tlačí je proto výhodnější směr Opatov, který je však zajištěn jen jedním autobusem (tudíž nejezdí tak často), nebo linky 136 a 154. Za tmy je nezpevněná cesta ze zastávky Na Jelenách špatně osvětlená a stává se tak ještě hůře schůdnou.'' | $$ a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}. $$ |
| Line 32: | Line 40: |
| == Vzdálenost od školy == | Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu. |
| Line 34: | Line 42: |
| Ze zastávky Volha lze jet kterýmkoli autobusem kterýmkoli směrem (kromě 197, směr Smíchovské nádraží) a odveze vás na Chodov nebo Opatov (obojí trasa metra C). | |
| Line 36: | Line 44: |
| * Malá Strana ** 40-50 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (I.P.Pavlova) -> tram (Malostranské náměstí) ** 35-45 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Muzeum) -> metro (Malostranská) -> tram (Malostranské náměstí) nebo pěšky * Karlov ** 30 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (I.P.Pavlova nebo Vyšehrad) -> pěšky (fakulta) ** 25 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (I.P.Pavlova) -> bus (Dětská nemocnice Karlov - jezdí jen každých 15 min) * Karlín ** 30 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Florenc) -> tram (Křižíkova) ** 35 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Florenc) -> metro (Křižíkova) * Troja ** 45 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Nádraží Holešovice) -> bus (Kuchyňka) ** 55 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Nádraží Holešovice) -> pěšky (fakulta) * Hostivař ** 30 min: bus (Volha) -> bus (Na Groši) -> bus (Gercenova) ** 30 min: bus (Na Jelenách) -> bus (Gercenova) ** 30-40 min: bus (Volha) -> metro (Chodov||Opatov) -> metro (Háje) -> bus (Gercenova) |
3. 1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je _spojitá_ v bodě $A \in \mathbb{R}$. |
| Line 53: | Line 46: |
| 2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce. | |
| Line 54: | Line 48: |
| V noci jezdí z Florence přes Muzeum a I. P. Pavlova úžasně rychlý autobus '''511'''. Z I. P. Pavlova na Volhu to zvládne za 14 minut. | 3. [5 b.] Dokažte tu větu. |
| Line 56: | Line 50: |
| == Adresa == | |
| Line 58: | Line 52: |
| === Otava === | 4. 1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti. |
| Line 60: | Line 55: |
| Kolej Otava<br /> Chemická 954<br /> 148 00 Praha 4 – Jižní Město |
2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat. |
| Line 64: | Line 57: |
| === Vltava === Kolej Vltava<br /> Chemická 953<br /> 148 00 Praha 4 – Jižní Město ''Pozn.: Ačkoli se koleje udávají s adresou "Chemická", stejnou budovu najdete i na adrese "Ekonomická". To může být k užitku například pokud jedete na kolej poprvé autem, chcete využít navigaci a ta ulici "Chemická" nezná. Důkazem tohoto tvrzení může být adresa Mironetu na jejich oficiálních stránkách. Pošta nezvykne mít problémy.'' == Odkazy == Oficiální web: [http://www.jm.koleje.cuni.cz/ Koleje Jižní Město] [[Category:Koleje]] |
3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$, tedy i v okolí nuly.) |