Matfyz Wiki
Diff for ''
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 1: | Line 1: |
| { "Matematika": { "∩": "∩", "∪": "∪", "∧": "∧", "∨": "∨", "∞": "∞", "∑": "∑", "∏": "∏", "∈": "∈", "∉": "∉", "∅": "∅", "∀": "∀", "∃": "∃", "∄": "∄", "⇔": "⇔", "⇐": "⇐", "⇒": "⇒", "¬": "¬", "💡": "💡", "☀": "☀", "🎓": "🎓", "−": "−", "×": "×", "÷": "÷", "≈": "≈", "≠": "≠", "⊂": "⊂", "⊆": "⊆", "≡": "≡", "≅": "≅", "<": "<", ">": ">", "≤": "≤", "≥": "≥", "±": "±", "¹" : "¹", "₁" : "₁", "²" : "²", "₂" : "₂", "³" : "³", "₃" : "₃", "⁴" : "⁴", "⁵" : "⁵", "⁶" : "⁶", "⁷" : "⁷", "⁸" : "⁸", "⁹" : "⁹", "⁰" : "⁰", "½" : "½", "ᵢ" : "ᵢ", "ⱼ" : "ⱼ", "ₖ" : "ₖ", "ₘ" : "ₘ", "ₛ" : "ₛ" }, "Greek": { "α" : "α", "β" : "β", "γ" : "γ", "δ" : "δ", "ε" : "ε", "θ" : "θ", "π" : "π", "ró" : "ρ", "σ" : "σ", "Gama" : "Γ", "χ" : "χ", "ω" : "ω", "Κ" : "Κ", "Σ" : "Σ" }, "Symboly": { "−": "−", "—": "—", "°": "°", "′": "′", "″": "″", "←": "←", "→": "→", "↓": "↓", "↑": "↑", "„“" : "„“", "»«" : "»«", "#" : "#", "@" : "@", "|" : "|", "~" : "~", "&": "&", "§": "§", "•" : "•", "·": "·", "…" : "…", "€" : "€", "$" : "$" }, "Diakritika": { "Æ" : "Æ", "æ" : "æ", "À" : "À", "à" : "à", "Â" : "Â", "â" : "â", "Ä" : "Ä", "ä" : "ä", "Å" : "Å", "å" : "å", "Ç" : "Ç", "ç" : "ç", "È" : "È", "è" : "è", "É" : "É", "é" : "é", "Ê" : "Ê", "ê" : "ê", "Ë" : "Ë", "ë" : "ë", "Î" : "Î", "î" : "î", "Ï" : "Ï", "ï" : "ï", "Ô" : "Ô", "ô" : "ô", "Ö" : "Ö", "ö" : "ö", "Ø" : "Ø", "ø" : "ø", "Ù" : "Ù", "ù" : "ù", "Û" : "Û", "û" : "û", "Ü" : "Ü", "ü" : "ü", "Ÿ" : "Ÿ", "ÿ" : "ÿ", "Œ" : "Œ", "œ" : "œ" } } |
# Zkouška Jelínek 2.6.2025 1. Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem $$ f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases} $$ kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci. 1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava. 2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum). 3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$? 2. 1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat. 2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem $$ b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right) $$ Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:\ *"Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$, pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$."* 3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem $$ a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}. $$ Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu. 3. 1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je _spojitá_ v bodě $A \in \mathbb{R}$. 2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce. 3. [5 b.] Dokažte tu větu. 4. 1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti. 2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat. 3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$, tedy i v okolí nuly.) |