Matfyz Wiki
Diff for ''
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 1: | Line 1: |
| {| style="width: 20em; float: right; font-size: 95%; margin: 0 0 1em 1em; border: 1px solid #aaa; border-collapse: collapse; clear: right;" |- | style="padding: 0.5em; background: #cde; font-size: larger; border: 1px solid black;" | '''[[:Category:Předměty|{{{1}}}]]''' |- | {| style="margin-left: 1em;" |- style="vertical-align: top;" |Kód předmětu: |style="padding-left: 1em;" | [http://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?do=predmet&kod=N{{{3}}} N{{{3}}}] |- style="vertical-align: top;" |Přednáší: |style="padding-left: 1em;" | '''[[{{{2}}}]]''' |} |} |
# Zkouška Jelínek 2.6.2025 |
| Line 16: | Line 3: |
| 1. Definujeme funkci $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ předpisem | |
| Line 17: | Line 5: |
| $$ f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases} $$ |
|
| Line 18: | Line 13: |
| kde $\exp(\cdot)$ označuje exponenciální funkci. | |
| Line 19: | Line 15: |
| 1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě $0$, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava. | |
| Line 20: | Line 17: |
| [[Category:Předměty]] | 2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum). 3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu $(0, +\infty)$? Je tato funkce konvexní či konkávní na $\mathbb{R}$? 2. 1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat. 2. [4 b.] Nechť $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ předpisem $$ b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right) $$ Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:\ *"Pokud má posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vlastní limitu $L$, pak i posloupnost $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ má nutně tutéž limitu $L$."* 3. [3 b.] Definujeme posloupnost $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ vztahem $$ a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}. $$ Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu. 3. 1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je _spojitá_ v bodě $A \in \mathbb{R}$. 2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce. 3. [5 b.] Dokažte tu větu. 4. 1. [3 b.] Najděte příklad funkce $f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}$, která není na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná, ale funkce $(f(x))^2$ na $(0, 1)$ newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti. 2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat. 3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci $f(x) = |x| \cdot e^x$ na $\mathbb{R}$. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém $\mathbb{R}$, tedy i v okolí nuly.) |