Zk 13.2.2012

1. Rozhodnout jestli množina $S = \{ <x,y,z> | \varphi_x(z) \downarrow \wedge \varphi_y(z) \downarrow \wedge \varphi_x(z) = \varphi_y(z) \}$ je rekurzivní, pokud není, tak jestli $S$ nebo $\overline{S}$ je rekurzivně spočetná.

2. Ukažte, že problém Omezený součet podmnožiny je polynomiálně řešitelný:
   Instance: Množina n prvků $A$, s každým prvkem $a \in A$ asociovaná velikost $v(a) \in \{ 0,...,n \}$, číslo $B \leq 0$.
   Otázka: Existuje množina prvků ${A}' \subseteq A$ pro níž platí, že:
   $$\sum_{a\in{A}'}v(a)= B?$$

3. NP-úplnost problému Set Packing
   Instance: Množina C konečných množin a přirozené číslo $k \leq 0$
   Otázka: Obsahuje C alespoň k po dvou disjunktních množin?

náznaky pro řešení:

1. Riceova věta tady nejde použít, jde o množinu trojic

2. Převodem na batoh

3. pomocí 3DM

Pro uplnost: prevod ve tretim prikladu se da resit i pres prevod Vertex Cover -> Independent Set -> Set Packing (a jde to hooodne jednoduse).

A ta 1) by sla asi resit i pres Rice, kdyby se predtim nejak sikovne pouzila s-m-n veta, ale kdo by to delal, kdyz to jde lip jinak.

Pouzitie rice-a by v tomto pripade malo byt celkom priamociare.. S nie je ani prazdna ani neobsahuje indexy vsetkych CRF takze rpiamo z rice-a vyplyva ze nie je rekurzivna.

$S$ je rekurzivne spocetna a to preto, lebo je definicnym oborom funkcie f definovanej ako:
$$f(<x, y, z>) = \mu<r, s>[\varphi_{x, s}(z) \downarrow \wedge \varphi_{y, r}(z) \downarrow \wedge \varphi_{x, s}(z) \simeq \varphi_{y, r}(z)]$$

$\overline{S}$ tym padom nemoze byt r.s. lebo $S$ nie je rekurzivna mnozina.

alebo je na to nieco zle?