Skuska 21.1.2009

Tentokrat otazky vcelku necakane:

(F1)(10b) Odvodte odhad pre lokalnu disk. chybu viackrokovych metod
(F2)(5b) Popiste algoritmus hladania minima metodou najvacsieho spadu s optimalnym krokom a urc podmienky konvergencie (bez dokazu).

(H1)(10b) Nech $A$ je regularna $(n\times n)$ matica, $y, \Delta y \in \mathbb{R}^n$, $y$ je nenulove a $x$, resp. $x + \Delta x$ rieši sustavu rovnic

$$Ax = y, \qquad A(x + \Delta x) = y + \Delta y$$

a.) Odvodte vyraz pre odhad relativnej chyby: $\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }$ pomocou podmienenosti $A$.
b.) Je tento odhad optimalny? Zdovodnite.
c.) Aplikujte tento odhad na urcenie chyby, ak berieme suctovu normu a

$$A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad y = (3,1), \quad \Delta y = (0.01,-0.01)$$

(H2)(5b)
a.) odvod vzorec pre Newtonovu metodu
b.) odvod vzorec pre rad tejto metody (?)