Stanovský 18.2.

K řešení testu používejte pouze tužku papír, žádné zápisky, kalkulačky apod. Pište každou úlohu na jinou stránku. Tvrzení a definice pečlivě formulujte včetně všech předpokladů. Důkazy pište stejně formálně jako ve skriptech. Odpovědi na otázky zdůvodněte. Pokud v argumentu používáte nějaké netriviální tvrzení z přednášky, uveďte to (často budete vyzváni, abyste všechna použitá tvrzení zformulovali).
Časový limit je 120 minut.

1. (9 bodů) Buď $R$ obor integrity. Definujte, co to je podokruh a podtěleso tohoto oboru. Rozhodněte,
   které z následujících podmnožin tvoří podokruh, resp. podtěleso, oboru $Q[x]$.
   $$\{f \in Q[x]: f(1)\in Z\}$$
   $$\{f \in Q[x]: f(1) \geq 0\}$$
   $$\{f \in Q[x]: deg(f)\leq0\}$$

2. (16 bodů) Formulujte větu, která charakterizuje gaussovské obory dvěma velmi rozdílnými způsoby (rozveďte i definici gaussovskosti, napište, co přesně znamená existence a jednoznačnost rozkladů). Jednu implikaci si vyberte a dokažte, pomocná lemmata zformulujte.

3. (20 bodů)
   a) Popište konstrukci šestnáctiprvkového tělesa. Popište jej jako faktorokruh $\!F_{16} = T[\alpha]/(f)$pro
   konkrétní $T$, $f$, napište explicitně, co jsou jeho prvky a jak jsou definovány operace, popište, jak se spočítá inverzní prvek.
   b) Je $F_{16}[x]$ eukleidovský obor?
   c) Spočtětč $NSD(x^5 + a, x^2 + a)$ nebo zdůvodněte, Že neexistuje.

4. (11 bodů)
   a) Definujte dvěma ekvivalentními způsoby řád prvku.
   b) Obsahuje grupa $S_8$ prvek řádu 14? Obsahuje grupa $D_8$ prvek řádu 4? Pokud ano, napište jej. Pokud ne, dokažte (pokud používáte nějaké tvrzení z přednášky, dokažte jej také).

5. (16 bodů)
   a) Formulujte a dokažte Burnsideovu větu.
   b) Kolika způsoby lze obarvit stěny pravidelného čtyřstěnu k různými barvami? Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud se liší otočením čtyřstěnu.

6. (18 bodů) Hloupý student inženýrství špatně přečetl skripta z algebry a implementoval Diffe-Hellmanův algoritmus s grupou $Z_{1009} = \langle100\rangle$. Číslo 1009 je prvočíslo, to mu strýček Wolfram poradil dobře.
   a) Alice poslala Bobovi hodnotu 10, Bob poslal Alici hodnotu 1000. Zjistěte heslo.
   b) Studentovi poraďte, v čem udělal chybu a jak byste to udělali vy. Poradit můžete i Bobovi.
   c) Mně vysvětlete, proč je 100 generátor té grupy a kolik generátorů tato grupa obsahuje.

hodnocení 55-67-80 (+ 10 za kvizy)
2 hodiny času nebo 3 x 45 min pro virtuální zkoušku