NMAI062/Zkouška 2021-02-09 Stanovský

Mějme $f, g, h, m \in Q[x]$ , kde $m, h$ jsou nesoudělné. Dokažte, že pokud je $fh \equiv gh$ mod $m$ implikuje $f \equiv g$ mod $m$ . Napište obor integrity, kdo tato implikace neplatí.
a) Platí v $Z_7[x]$ Bezoutka? Formulace/protipříklad
b) Najděte všechny polynomy $f \in Z_7[x]$ , pro které platí $x f \equiv 2$ mod $x^3 + x + 1$
Najděte rozklad polynomu $\alpha x^2 + x + (\alpha + 1)$ v $F_9[x]$ . Kde $F_9 = Z_3[\alpha]/(\alpha^2 + 1)$ .
a) Reed-Salomonovy kódy. Co to je, jak a proč.
b) Dekódujte a odhalte chybu.
a) Existuje šedesátiprvková grupa s prvek řádu 20? Nez něj? Důkaz/protipříklad.
b) Buď G grupa, platí $\langle a, b \rangle_G = {a^k, b^k, k \in Z}$ ? Důkaz/protipříklad.
Působení $G = A_5$ na $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}^2$ uspořádaných dvojic, kde $\pi((x, y)) = (\pi(x), \pi(y))$ .
Kolik je orbit? Jaké mají prvky?
Co je $G_{(1, 2)}$ ? A co je $X_{(1 2 3)}$ ?
Napište a dokažte lemma o vztahu stabilizátoru a orbity.

===================

Odpovědi/nástřely:

$Q[x]$ je Gaussovský, takže jednoznačné rozklady. Implikace platí z rozkladů prvků $h(f-g)$ , $(f-g)$ a $h$ .
Neplatí v OI $Z[\sqrt(5)]$ , který nemá jednoznačné rozklady -> $2 | (\sqrt(5) + 1)(\sqrt(5) - 1)$ , ale nedělí ani jeden z těch dvou.
a) $Z_7$ je těleso, $Z_7[x]$ je tedy euklidovský a tedy platí v něm Bezoutka. V euklidově algoritmu jenom musím počítat s normou.
b) $f = 5x^2 + 5 + k(x^3 + x + 1)$ pro $k \in Z_7[x]$
Polynom je irreducibilní prvek.
Žádný z 9-ti prvků Z $F_9$ není jeho kořen, tudíž nelze rozložit.
a) Samopravné kódy fungující na interpolaci polynomů.
b) Stačí si tipnout funkci, která prochází všemi body až na jeden.
a) Existují obě. Grupa $G = Z_{60}$ má prvek řádu 20, Grupa $G = Z_2 \times Z_2 \times Z_3 \times Z_5$ ho nemá.
b) Neplatí, $\langle a, b \rangle_G$ musí obsahovat a (a taky b), ale to není obsaženo v ${a^k, b^k, k \in Z}$ .
Dvě orbity - pět prvků (a, a) a dvacet prvků (a, b). (a, a) se nezobrazí na nic jiného než jiné (b, b), zatímco pro libovolné a, b, c umím najít permutaci takovou, abych z (a, b) vygeneroval (a, c) nebo (c, b).
$G_{(1, 2)}$ jsou identita a trojcykly neobsahujíci 1 nebo 2.
$X_{(1 2 3)}$ jsou dvojice neobsahující 1, 2 nebo 3.

Stanovský 9.2.2021