[Zk] 13.1.2012

(7 bodů) Dokažte pro nesoudělná kladná celá čísla a,n > 1, že $(a^{(\phi(n)}) \mod n = 1$. (Dokažte včetně využívané části používané technické poznámky.)

(7 bodů) Dokažte, že je každá Booleova algebra izomorfní Booleově algebře podmnožin nějaké množiny.

Napište nějakou množinu generátorů grupy $S_n$ velikosti <= $n^2$.

Uveďte větu o homomorfismu pro grupy.

Může mít komutativní grupa nekomutativní vlastní podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.

Existují dvě neizomorfní nekonečné cyklické grupy? Stručně zdůvodněte.

Existuje vždy nějaký homomorfismus algebry do sebe? Stručně zdůvodněte.

Definujte slučitelnost ekvivalence s operací. Je každá ekvivalence slučitelná s každou nulární operací?

Jsou grupy $\mathbb{Z}{19}(+)$ a $\mathbb{Z}{20}^*(\cdot)$ izomorfní? Stručně zdůvodněte.

Buď $(X, \leq)$ uspořádaná množina. Definujte největší a nejmenší prvek.

Nakreslete nejmenší uspořádanou množinu, která není svazem.

Uveďte příklad okruhu a nějakého jeho ideálu.

(2 body) Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce $\phi(2250)$.

(2 body) Nakreslete Hasseův diagram svazu podgrup grupy $\mathbb{Z}_{27}(+)$.

(2 body) Kolik podgrup řádu 4 má grupa $S_4(\circ)$? Odůvodněte.

(2 body) Je podgrupa $3\mathbb{Z}$ grupy $\mathbb{Z}(+)$ cyklická? Zdůvodněte.