[Zk] 22.12.

Mal som:

1. Eulerova funkce, vztah k monoidum a grupam - 5.13, 5.15, 5.16.

2. Dokazat, ze mnozina vsetkych regularnych matic radu n tvori grupu a pre par vybranych podmnozin urcit ci su to podgrupy. Stacilo vediet z linagebry, ze regularne matice maju vzdy inverz, nasobenie je asociativne a ze det(AB)=det(A)det(B). To posledne mi Zemlicka povedal sam hned na zaciatku.

Trvalo to o nieco dlhsie, ale nakoniec zo mna dostal vsetko a teda za 1. Co som videl ostatnych, tak tam boli 1 a 2, jeden to vzdal.

no ja sem mel kliku, dostal jsem snad nejjednodusi zadani co jsem videl,

1. Vlastnosti homomorfismu (slouceni, inverz, a obraz a vzor podalgeber)

tedy poznamky 1.2 a 1.3 s dukazem

2. Napsat koatomy a atomy svazu kongurenci na Z500

to je izomorfni podle nejaky vety svazu norm. podgrup a pak je to taky snadne

takze celkem jasne za jedna :D.

Neprinesu nic noveho:
teorie - Uzaverove systemy, uzaverovy operator a uzaver. Vztahy mezi nimi.
prakticka - mnohokrat uz zminovany pocet invertibilnich prvku Z900(.,1) - tedy pouze spocitat Eulerovu fci 900.

• u teoreticke ocekaval definice (definice s porozumnenim) trech zminenych pojmu a k tomu formulaci a dukazy obou casti vety 2.2. Problem jsem mela u zneni druhe casti, kdyz jsem neprisla jak z uzaveroveho operatoru vykopat nejaky rozumny uz. system. Nicmene Zemlicka ho ochotne poradil, dukaz uz nebylo tezke vymyslet. To cele trvalo skoro tri hodiny...:oops: Potom mi nabidnul dvojku nebo na jednicku dokazat v rozumnem case 6.2 (i s dukazem pomocneho 4.8 ) - nicmene to jsem po chvilce radsi odmitla, vzala dvojku a padim resit vanocni darky ;)

Co jsem videla v jeho papirech, tak zatim jedna ctyrka, ostatni zhruba pul napul jednicky a dvojky.

Ja jsem mel:
Teorie: Opacny svaz(S(A,V) svaz, pak taky S(V,A) je svaz, s dukazem). Modularita svazu(definice a poznamka tesne predtim s "polomodularitou", tu s dukazem) a priklady modularnich svazu (stacilo mu vymyslet nejaky fakt jednoduchy, tedy treba tri vrcholy nad sebou spojene hranami;-))
Praxe: Popsat svaz vsech kongruenci S3(o,-1,Id). To mi dalo celkem zabrat, muselo se to posledni vetou svazu prevest na ulohu hledani podgrup a pak to slo - ale ke konci uz jsem mel dost a chtel jsem jit domu, tak jsem si nechal dat za 2...

Jinak si myslim, ze k praxi celkem pomuze se podivat na Cvika z lonska (nebo predlonska) na Zemlickovych strankach - nektery priklady tam ma naprosto konkretne reseny i s paradnim oduvodnenim, takze nemuzete sahnout vedle:-)

Hezke Vanoce!

No ja taky asi nic moc novyho nepridam :) ... taky jsem dostal dobrou otazku :

1. Vztah cyklickych grup, jejich podgrup a faktorgrup

2. Dokazat nebo vyvratit izomorfismus monoidu Z(+,0) a Z(*,1)

Prvni otazka je izomorfni "Dokazte 5.9 a 5.7", pri cemz jsem zvladnul pekne zmatkovat ale nakonec dobry :). Druhy jsem nejak vyvratil pres invertibilni prvky ... takze super :D.

Ja mel:

1. Uzaverove systemy podalgeber, ekvivalenci, kongruenci.

2. Kongruence na okruhu Z(+,*,-,0,1).

3. trivialni

4. pouzit 6.2 a dostat se k podgrupam Z(+,-,0) - 5.7.
   Trosku jsem se s tim zamotal, tak po me chtel dukaz 5.7 a to jsem nezvlad :oops:
   Takze nakonec za 2

ja mel zase jednou kliku - prakticka - Haseuv diagram vsech kongruenci na telesech Q, R
teoreticka - lagrangeova veta + pomocne tvrzeni, ktere se uzivaji v dukazu

jinak jsem mel za 1 a co jsem videl v 17h za cely den - vetsinou jednicky, sem tam dvojka

Taky jsem to měl jednoduché zadání, teoretická byla ta věta o bijekci na svazech, že je izomorfismus právě když je momotónní z obou stran,
praktická byla dokázat, že grupa (o,-1,Id) izomorfismů tvaru G -> G , kde G je standartní grupa (x,-1,1), a ty izomorfismy ve tvaru f(h)=gxhx(g(na minus prvou)), kde g je z G, že ta celá grupa izomorfismů je normální podgrupou všech izomorfismů z G do G (Aut(G)(o,-1,Id)). Měl jsem jen dokázat, že je to podgrupa (uzavřenot na operace) a že je normální. Bez problémů za 1 :D

No, nejjednodussi zadani jsem mel ja... :lol:

1. Vztah velikosti grupy a podgrupy (Lagrangeova veta)

Zde bylo potreba de fakto jen dokazat to lemma pred tim (a vysvetlit definice...)

2. Existuje isomorfismus mezi N0(+,0) a N(*,1)? Pokud ano najdete ho...

Neexistuje - v N0(+,0) totiz neexistuje (nekonecne velka) analogie prvocisel, tedy je zde jen konecne mnoho cisel nezapsatelnych jako soucet dvou (nenulovych) prvku (konkretne jen jednicka)... Nakonec se to uhraje pres vlastnosti homomorfismu jakozto slucitelneho zobrazeni (f(a+b)=f(a)*f(b)) a bijekce jakozto zobrazeni prosteho a na... trochu jam session ;) ...