Zkouška 12. 1. 2015 Antoch

1. V textu zakódovaném morseovkou se tečka vyskytuje průměrně v 55% případů. Telegrafista tečku odešle správně s pravděpodobností 0.97, čárku s pstí 0.95. Jaká je pravděpodobnost, že došlo k chybě pokud byla přijata čárka.

2. Máme náhodný výběr z normálního rozdělení
   a) odhadněte střední hodnotu
   b) je tento odhad konzistentní
   c) odhadněte rozptyl
   d) jaké jsou vlastnosti tohoto odhadu

3. Máme náh. veličinu X z NBi(r,p) rozdělení a Y z NBi(s,p), jsou nezávislé (NBi je negativně binomické rozdělení). Z = X + Y
   a) jaké má Z rozdělení
   b) spočítejte střední hodnotu a rozptyl Z

4. Máme diskrétní nahodnou veličinu X, která nabývá hodnoty $x_i\in\mathbb{N}_0$ s pravděpodobností $p_i$
   a) Jak je definovaná distribuční funkce X
   b) jak z distribuční funkce odvodíme pravděpodobnosti $p_i$
   c) asi tady ještě něco bylo, ale nevzpomínám si
   d) jaké další charakteristiky rozdělení znáte a uveďte příklady na X z Bi(n,p)

5. Náhodné veličiny X,Y nabývají hodnoty $i\in\mathbb{N}_0$ s pravděpodobností $p_i$(respektive $q_i$). Z = XY.
   a) jaké je rozdělení Z v případě, že X a Y jsou závislé/nezávislé
   byly tady ještě další body, ale už si nevzpomenu, třeba někdo doplní

6. máme náhodný výběr z rozdělení Alt(p)
   a) odhadněte střední hodnotu metodou maximální věrohodnosti
   b) odhadněte střední hodnotu momentovou metodou
   c) obě metody podrobně vysvětlete

7. slabý zákon velkých čísel
   a) důkaz
   b) vysvětlit co přesně říká
   c) příklad použití

8 ) $A_1, ... A_n$ náhodné jevy
a) kdy jsou tyto jevy neslučitelné a kdy sdruženě nezávislé
b) kdy jsou po třech nezávislé
c) jaký je principiální rozdíl mezi neslučitelností a nezávislostí
d) příklad nezávislých jevů
e) příklad neslučitelných jevů

9. Máme náhodný výběr z normálního rozdělení s neznámým rozptylem
   a) na příkladu
   $$\\H_0: \mu = 0\\ H_1: \mu eq 0$$
   vysvětlete princip testování hypotéz
   b) co je chyba 1. a 2. druhu